a. Để đồ thị hàm số \( y = (m^2 + 2m + 3)x + (3m - 2) \) song song với đường thẳng \( y = 6x + 1 \), chúng ta cần điều kiện cho hai hệ số góc (độ dốc) của hai hàm này bằng nhau. Độ dốc của đường thẳng \( y = 6x + 1 \) là 6.

**Điều kiện:**
\[
m^2 + 2m + 3 = 6
\]

**Giải phương trình:**
\[
m^2 + 2m + 3 - 6 = 0 \implies m^2 + 2m - 3 = 0
\]

Áp dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai:
\[
m = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3)}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 \pm \sqrt{4 + 12}}{2} = \frac{-2 \pm \sqrt{16}}{2} = \frac{-2 \pm 4}{2}
\]

Tính toán các nghiệm:
1. \( m_1 = \frac{-2 + 4}{2} = \frac{2}{2} = 1 \)
2. \( m_2 = \frac{-2 - 4}{2} = \frac{-6}{2} = -3 \)

Vậy \( m = 1 \) hoặc \( m = -3 \) để đồ thị hàm số song song với đường thẳng \( y = 6x + 1 \).

---

b. Để đồ thị hàm số cắt trục Ox và Oy tại A và B sao cho \( 3OA = OB \), ta cần tìm tọa độ cắt của hàm số với trục hoành (trục Ox) và trục tung (trục Oy).

1. **Cắt trục Ox**:
Để tìm giao điểm với trục Ox, ta cho \( y = 0 \):
\[
0 = (m^2 + 2m + 3)x + (3m - 2)
\]
Giải phương trình này ra \( x \):
\[
(m^2 + 2m + 3)x = - (3m - 2) \implies x = \frac{-(3m - 2)}{m^2 + 2m + 3}
\]

2. **Cắt trục Oy**:
Để tìm giao điểm với trục Oy, ta cho \( x = 0 \):
\[
y = 3m - 2
\]

Xét điểm A (cắt trục Ox) và điểm B (cắt trục Oy) là:
- \( A \left(\frac{-(3m - 2)}{m^2 + 2m + 3}, 0\right) \)
- \( B(0, 3m - 2) \)

**Điều kiện:**
Ta có:
\[
3OA = OB \implies 3 \cdot OA = OB
\]
Trong đó \( OA = \left|\frac{-(3m - 2)}{m^2 + 2m + 3}\right| \) và \( OB = |3m - 2| \).

Vậy điều kiện trở thành:
\[
3 \cdot \left|\frac{-(3m - 2)}{m^2 + 2m + 3}\right| = |3m - 2|
\]

Chia hai vế cho \( |3m - 2| \) (không bằng 0):
\[
3 \cdot \frac{1}{|m^2 + 2m + 3|} = 1
\]

**Giải phương trình trên:**
\[
3 = |m^2 + 2m + 3|
\]
Hai trường hợp xảy ra:

1. \( m^2 + 2m + 3 = 3 \)
\[
m^2 + 2m + 3 - 3 = 0 \implies m^2 + 2m = 0 \implies m(m + 2) = 0 \implies m = 0 \text{ hoặc } m = -2
\]

2. \( m^2 + 2m + 3 = -3 \)
\[
m^2 + 2m + 6 = 0
\]
Phương trình này có discriminant \( b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 4 - 24 = -20 \) (không có nghiệm thực).

Vậy nghiệm của \( m \) để đồ thị hàm số cắt trục Ox, Oy sao cho \( 3OA = OB \) là \( m = 0 \) và \( m = -2 \).