Để giải bài toán đã cho, chúng ta sẽ vẽ hình minh họa và thực hiện các chứng minh theo từng phần.

### Bước 1: Vẽ hình
- Vẽ tam giác \(ABC\) với \(I\) là trung điểm của \(BC\).
- Vẽ điểm \(D\) trên tia đối của \(IA\) sao cho \(ID = IA\).
- Kẻ đoạn thẳng \(AB\) và \(CD\).

### Bước 2: Chứng minh các tính chất yêu cầu
a) **Chứng minh rằng \(AB = CD\) và \(AB \parallel CD\)**:
- Vì \(I\) là trung điểm của \(BC\), ta có \(BI = IC\).
- Từ \(I\), \(D\) được vẽ ra với \(ID = IA\), có nghĩa là tam giác \(AID\) là tam giác đều (vì \(I\) là trung điểm, và \(AD\) là đường trung bình).
- Do đó, \(AB = AI = ID = CD\) (vì \(D\) nằm trên tia đối của \(IA\)).
- Hơn nữa, góc \(AIB\) và góc \(DIC\) là góc đối đỉnh, nên \(AB \parallel CD\).

b) **Chứng minh rằng \(BD \parallel AC\)**:
- Ta có \(I\) là trung điểm của \(BC\) cũng như trung điểm của đoạn thẳng \(AD\), với \(D\) được vẽ sao cho \(ID = IA\).
- Do đó, ta có \(AB \parallel CD\) và \(I\) là miền giữa, dẫn đến \(BD\) nằm đối xứng sao cho \(BD \parallel AC\).

c) **Chứng minh rằng tam giác \(ABC\) đồng dạng với tam giác \(DCB\)**:
- Xét hai tam giác \(AID\) và \(IAC\), chúng đồng dạng vì có các góc tương ứng \(AID = IAC\) và \(AID = DIC\).
- Do đó, từ mối liên hệ giữa các cạnh, ta có \(AB = CD\) và với các góc tương ứng \(B\) và \(C\), ta kết luận được rằng tam giác \(ABC\) có tỉ lệ với tam giác \(DCB\).

d) **Chứng minh rằng 3 điểm \(M\), \(I\), \(N\) thẳng hàng**:
- Giả sử rằng trên đoạn thẳng \(AB\) ta có điểm \(M\) sao cho \(AM = DN\) và điểm \(N\) nằm trên đoạn thẳng \(CD\).
- Vì \(D\) và \(C\) nằm trên định nghĩa của các đoạn thẳng song song, nên các điểm này cùng nằm trên một đường thẳng.
- Từ đó, ta kết luận điểm \(I\) cũng nằm trên đường thẳng xuyên qua \(M\) và \(N\).

### Vẽ hình minh họa:
1. Vẽ tam giác \(ABC\) và đánh dấu trung điểm \(I\) của \(BC\).
2. Vẽ tia đối của \(IA\) và điểm \(D\) nằm trên đó sao cho \(ID = IA\).
3. Kẻ đoạn thẳng \(AB\) và \(CD\) để thể hiện tính song song.

Từ những bước đã đưa ra, ta có thể lập luận rằng cần vẽ hình một cách chính xác và biểu diễn các điểm và đoạn thẳng tương ứng, giúp dễ dàng visual hóa và xác nhận các tính chất đã được chứng minh.