Chứng minh tam giác ECI cân và EC là tiếp tuyến của (O)

Để chứng minh tam giác \( ECI \) là tam giác cân và \( EC \) là tiếp tuyến của đường tròn \((O)\) có đường kính \( AB \), ta bắt đầu với một số giả thiết và định lý cơ bản.

**Giả thiết:**
- \( O \) là trung điểm của đoạn thẳng \( AB \).
- \( C \) thuộc cung \( AB \) của đường tròn \((O)\) sao cho \( CA < CB \).
- \( D \) là điểm đối xứng của \( C \) qua đường thẳng \( AB \).
- \( S \) là giao điểm của hai tia \( BC \) và \( DA \).
- \( E \) là chân đường vuông góc từ \( S \) xuống \( AB \).
- Tia \( SE \) cắt tia \( CA \) tại \( I \).

**Chứng minh:**

1. **Tam giác \( ECI \)**:
- Ta thấy rằng điểm \( C \) thuộc cung lớn của đường tròn \((O)\) do \( CA < CB \). Điều này có nghĩa là góc \( ACB \) là góc nhọn.
- Từ đó, ta có \( \angle ACB = \angle DCB \) bởi vì \( D \) là đối xứng của \( C \) qua đường thẳng \( AB \) và góc này sẽ không đổi.

2. **Chứng minh \( EC \) là tiếp tuyến**:
- Ta chứng minh rằng \( EC \) vuông góc với bán kính \( OC \) tại điểm \( C \).
- Vì đường tròn \( (O) \) có đường kính \( AB \), nên \( OC \) là bán kính tại điểm \( C \).
- Góc \( ACB \) và góc \( DCB \) đều bằng nhau và \( \angle ACB + \angle DCA = 180^\circ \), do đó \( \angle CEB = 90^\circ \).
- Từ đây, ta suy ra rằng \( EC \) vuông góc với \( OC \), tức là \( EC \) là tiếp tuyến của đường tròn \( (O) \) tại điểm \( C \).

3. **Tam giác \( ECI \) là tam giác cân**:
- Xét tam giác \( ECI \), chúng ta có \( EI \) là đường cao từ \( E \) xuống cạnh \( CI \) sẽ cắt \( CI \) tại điểm chính giữa.
- Do vị trí hạ từ \( S \) xuống \( E \) là vuông góc với \( AB \), và đường thẳng \( CA \) cắt nhau tại \( I \), dẫn đến \( EI = CI \) hay \( EC = CI \).
- Do đó, ta có \( ECI \) là tam giác cân với \( EI = CI \).

Vậy ta đã chứng minh rằng tam giác \( ECI \) là tam giác cân và \( EC \) là tiếp tuyến của đường tròn \((O)\).