a. 
Ta có ∠AOB = 50°. Vì OK // BA nên ∠KOC = ∠AOB = 50° (hai góc đồng vị).
Cung AC là cung chắn góc AOC. Ta có ∠AOC = 180° - ∠AOB = 180° - 50° = 130°. Vậy số đo cung AC là 130°.
Số đo cung KC bằng số đo góc KOC, tức là 50°.
Vậy số đo cung AKC bằng số đo cung AC cộng số đo cung KC: cung AKC = cung AC + cung KC = 130° + 50° = 180°.
Kết luận: Số đo cung AKC là 180°. Điều này có nghĩa là K là điểm đối xứng với A qua O hay AK là đường kính của (O).
b.
OC ⊥ CI (do CI là tiếp tuyến tại C).
Xét tam giác OIC vuông tại C. Ta có ∠IOC + ∠CIO = 90°.
Vì OK // BA nên ∠IOA = ∠OAB. Tam giác OAB cân tại O (OA = OB = bán kính) nên ∠OAB = ∠OBA.
Vì AK là đường kính nên ∠ABC = 90° (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn). Do đó ∠OBA + ∠OBC = 90°.
Ta có ∠OBC = ∠OCK (so le trong do OK // BA và BC là cát tuyến). Vì tam giác OCK cân tại O (OK=OC) nên ∠OCK = ∠OKC. Vậy ∠OBC = ∠OKC.
Suy ra ∠OBA = ∠IOA = ∠OKC.
Xét tam giác OAI và tam giác OCI có:
OA = OC (bán kính)
OI chung
∠OAI = ∠OCI = 90°. Điều này cần được chứng minh.
Ta lại có: ∠KOC + ∠COI = ∠KOI. Mà ∠KOI = ∠BAO + ∠ABO (góc ngoài tam giác ABO). Mà ∠BAO = ∠ABO và ∠KOC = ∠BAO. Vậy ∠COI = ∠ABO.
Ta đã chứng minh ∠ABO = ∠OCK và ∠ABO = ∠IOA, vậy nên ∠IOA = ∠OCK.
Xét tam giác OAI và tam giác OCI:
OA = OC (bán kính)
OI chung
∠AOI = ∠COI (chứng minh trên)
=> ΔOAI = ΔOCI (c.g.c) => ∠OAI = ∠OCI = 90°.
Vì OA là bán kính và OA ⊥ IA tại A nên IA là tiếp tuyến của đường tròn (O).
c. 
Ta đã chứng minh ΔOAI = ΔOCI (c.g.c) => IA = IC.
Xét hai tam giác vuông OAI và OCI, ta có OA = OC, OI chung, suy ra IA=IC
Xét ΔIAC có IA = IC nên ΔIAC cân tại I.
∠IAC = ∠ICA.
Ta có ∠OCK = ∠OBC (cmt). Mà ∠OBC = ∠OAC (cùng phụ với góc AOB). Vậy ∠OCK = ∠OAC.
Mà ∠OAC = ∠IAC. Vậy ∠OCK = ∠IAC = ∠ICA.
Vậy CK là tia phân giác của góc ACI.