Để tìm điều kiện xác định của biểu thức \( P \), ta sẽ xem xét từng phần trong biểu thức.

Biểu thức \( P \) được cho là:

\[
P = \frac{x + \sqrt{x}}{x - 1} - \frac{2\sqrt{x}}{x - \sqrt{x}} \cdot \frac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} - 1}
\]

**1. Điều kiện xác định:**

- **Điều kiện từ mẫu số không được bằng 0:**
- \( x - 1 \neq 0 \) \(\Rightarrow x \neq 1\)
- \( x - \sqrt{x} \neq 0 \) \(\Rightarrow x \neq 0\) (vì \( x \) phải lớn hơn hoặc bằng 0 để có căn bậc hai)

Khi \( x = \sqrt{x} \) => \( x^2 - x = 0 \Rightarrow x(x - 1) = 0 \Rightarrow x = 0 \) hoặc \( x = 1\).

- **Điều kiện từ căn bậc hai:**
- \( x \geq 0 \) (cần thiết để tính căn bậc hai).

Kết hợp tất cả các điều kiện trên, ta có:

\[
x \geq 0 \quad \text{và} \quad x \neq 0, \quad x \neq 1
\]

=> Điều kiện xác định của \( P \) là \( x > 0 \) và \( x \neq 1 \).

**2. Rút gọn biểu thức \( P \):**

Để rút gọn biểu thức, ta thực hiện các phép biến đổi cho từng phần của biểu thức, tìm ra ước số chung và loại bỏ các phần giống nhau. Tuy nhiên, chi tiết cụ thể cho việc rút gọn sẽ phụ thuộc vào từng bước mà không thể thực hiện trực tiếp trong một lần.

Có thể bạn cần làm một vài phép toán cụ thể để hoàn thành việc rút gọn.