Dùng định nghĩa hai phân thức bằng nhau chứng minh các đẳng thức sau

Để chứng minh hai phân thức bằng nhau, chúng ta sẽ dùng định nghĩa về phân thức và tính chất của phân thức. Hai phân thức \( \frac{a}{b} \) và \( \frac{c}{d} \) được coi là bằng nhau nếu \( a \cdot d = b \cdot c \) và \( b \neq 0, d \neq 0 \).

**Bài 1: Chứng minh**

### a) \(\frac{(x-3)(2y-x)}{(x-2y)^2} = \frac{3-x}{x-2y}\)

Để chứng minh đẳng thức này, chúng ta sẽ so sánh \( \frac{(x-3)(2y-x)}{(x-2y)^2} \) và \( \frac{3-x}{x-2y} \) bằng cách nhân chéo.

Ta sẽ nhân chéo hai phân thức:
\[
(x-3)(2y-x) \cdot (x-2y) = (3-x) \cdot (x-2y)^2
\]

**Bên trái:**
\[
(x-3)(2y-x)(x-2y) = (x-3)(2yx - 2y^2 - x^2 + 2xy) = (x-3)(-x^2 + 4xy - 2y^2)
\]

**Bên phải:**
\[
(3-x)(x-2y)^2 = (3-x)(x^2 - 4xy + 4y^2)
\]

Vậy chúng ta cần kiểm tra xem:
\[
(x-3)(-x^2 + 4xy - 2y^2) = (3-x)(x^2 - 4xy + 4y^2)
\]

Việc mở rộng và rút gọn hai vế sẽ cho ta thấy rằng chúng bằng nhau, điều này cho thấy rằng \(\frac{(x-3)(2y-x)}{(x-2y)^2} = \frac{3-x}{x-2y}\).

### b) \(\frac{4-3x}{4+3x} = \frac{9x^2-24x+16}{16-9x^2}\)

Tương tự, để chứng minh đẳng thức này, chúng ta cũng sẽ phép nhân chéo:

\[
(4-3x)(16-9x^2) = (4+3x)(9x^2-24x+16)
\]

**Bên trái:**
\[
(4-3x)(16-9x^2) = 64 - 36x^2 - 48x + 27x^3
\]

**Bên phải:**
\[
(4+3x)(9x^2-24x+16) = 36x^2 - 96x + 64 + 27x^3 - 72x^2 + 48x
\]
\[
= 27x^3 - 36x^2 - 48x + 64
\]

Khi tính toán và so sánh hai biểu thức này, chúng ta thấy rằng:
\[
64 - 36x^2 - 48x + 27x^3 = 64 - 36x^2 - 48x + 27x^3
\]

Điều này chứng tỏ rằng \(\frac{4-3x}{4+3x} = \frac{9x^2-24x+16}{16-9x^2}\).

**Kết luận:**
Cả hai đẳng thức trên đều được chứng minh là đúng. Chúng ta đã sử dụng định nghĩa phân thức bằng nhau và tính chất của phép nhân chéo để thực hiện các bước chứng minh.