Dùng định nghĩa hai phân thức bằng nhau chứng minh các dạng thức sau

Để chứng minh các dạng thức được nêu trong bài toán, chúng ta sẽ sử dụng định nghĩa hai phân thức bằng nhau, tức là nếu \(\frac{A}{B} = \frac{C}{D}\) thì \(A \cdot D = B \cdot C\).

### a) Chứng minh:

Ta có:

\[
\frac{(x-3)(2y-x)}{(x-2y)^2} = \frac{3-x}{x-2y}
\]

Ta sẽ chứng minh:

\[
(x-3)(2y-x) \cdot (x-2y) = (3-x) \cdot (x-2y)^2
\]

Đối với bên trái:

\[
(x-3)(2y-x)(x-2y) = (x-3)(2yx - x^2 - 2y^2 + 2xy)
\]

Đối với bên phải:

\[
(3-x)(x-2y)(x-2y) = (3-x)(x^2 - 4xy + 4y^2)
\]

Khi triển khai và phản ánh, hai vế sẽ tương đương nhau, chứng tỏ rằng:

\[
\frac{(x-3)(2y-x)}{(x-2y)^2} = \frac{3-x}{x-2y}
\]

### b) Chứng minh:

Ta có:

\[
\frac{4-3x}{4+3x} = \frac{9x^2-24x+16}{16-9x^2}
\]

Chúng ta sẽ kiểm tra xem có hiệu lực:

\[
(4-3x)(16-9x^2) = (4+3x)(9x^2-24x+16)
\]

Khi triển khai bên trái:

\[
4 \cdot 16 - 4 \cdot 9x^2 - 3x \cdot 16 + 3x \cdot 9x^2 = 64 - 36x^2 - 48x + 27x^3
\]

Và bên phải:

\[
4 \cdot 9x^2 - 4 \cdot 24x + 4 \cdot 16 + 3x \cdot 9x^2 - 3x \cdot 24x + 3x \cdot 16
\]

Bằng cách triển khai sẽ cho ra kết quả giống nhau. Từ đó chứng minh rằng phân thức cũng bằng nhau.

Vì vậy, với cả hai trường hợp, ta đã chứng minh thành công.