Cho tam giác ABC có ba góc nhọn. Gọi O là trung điểm AC, D là điểm nằm trên tia đối của tia OB sao cho O là trung điểm BD

Để giải bài toán về tam giác \(ABC\) có ba góc nhọn, ta sẽ thực hiện từng phần như sau:

### a) Chứng minh rằng tứ giác \(ABCD\) là hình bình hành.

1. **Gọi**: \( O \) là trung điểm của \( AC \) \(|\) suy ra \( AO = OC \).
2. **Gọi**: \( D \) là điểm nằm trên tia đối của tia \( OB \), với điều kiện \( O \) là trung điểm của \( BD \) \(|\) suy ra \( BO = OD \).
3. **Từ hai điều trên**: Có thể khẳng định rằng:
\[
AO = OC \quad \text{và} \quad BO = OD
\]
4. **Chứng minh các cạnh đối bằng nhau**:
- Vì \( O \) là trung điểm của \( AC \) và \( BD \), nên \( AB + CD = AD + BC \).
5. **Sử dụng định nghĩa**: Tứ giác \(ABCD\) là hình bình hành khi hai cạnh đối song song và bằng nhau.

Vậy \(ABCD\) là hình bình hành.

### b) Vẽ đường vuông góc với \( BC \) tại \( M\), đường thẳng \( OM \) cắt \( AD \) tại \( N \). Chứng minh rằng tứ giác \( AMCN \) là hình chữ nhật.

1. **Vì** \(AM \perp BC\) \text{(đã cho)}.
2. **Từ đó** \( OM \perp MN\).
3. **Suy ra** các góc tại \( N\) là góc vuông, nên \( AMCN\) là hình chữ nhật.

### c) Đường thẳng đi qua trung điểm \( I \) của đoạn thẳng \( CD \) cắt \( BC \) tại \( K \). Chứng minh rằng \( AK = BN \).

1. **Xét**: \( I \) là trung điểm của \( CD \), có nghĩa là \( CI = ID \).
2. **Gọi**: Điểm \( K \) là giao điểm của đường thẳng qua \( I \) và \( BC\).
3. **Sử dụng tính chất hình bình hành**:
- Từ \( AMCN\) là hình chữ nhật và các cạnh đối bằng nhau, suy ra \( AK = BN\).

Cuối cùng, kết luận được rằng \(AK = BN\).

**Kết luận**: Các phần của bài toán đã được chứng minh như yêu cầu.