Để chứng minh rằng số có dạng \( n^6 - n^4 + 2n^3 + 2n^2 \) không phải là số chính phương với mọi số nguyên \( n \), ta sẽ xem xét biểu thức này và tìm cách kiểm tra tính chính phương của nó.

Đầu tiên, ta có thể viết lại biểu thức như sau:

\[
n^6 - n^4 + 2n^3 + 2n^2 = n^6 + 2n^3 + 2n^2 - n^4
\]

Tuy nhiên, để xét xem liệu biểu thức này có phải là số chính phương hay không, ta sẽ thử một số giá trị của \( n \).

**Thử với \( n = 0 \):**
\[
0^6 - 0^4 + 2 \cdot 0^3 + 2 \cdot 0^2 = 0
\]
0 là số chính phương.

**Thử với \( n = 1 \):**
\[
1^6 - 1^4 + 2 \cdot 1^3 + 2 \cdot 1^2 = 1 - 1 + 2 + 2 = 4
\]
4 là số chính phương ( \( 2^2 \) ).

**Thử với \( n = 2 \):**
\[
2^6 - 2^4 + 2 \cdot 2^3 + 2 \cdot 2^2 = 64 - 16 + 16 + 8 = 72
\]
72 không phải là số chính phương.

**Thử với \( n = 3 \):**
\[
3^6 - 3^4 + 2 \cdot 3^3 + 2 \cdot 3^2 = 729 - 81 + 54 + 18 = 720
\]
720 không phải là số chính phương.

**Thử với \( n = 4 \):**
\[
4^6 - 4^4 + 2 \cdot 4^3 + 2 \cdot 4^2 = 4096 - 256 + 128 + 32 = 4000
\]
4000 không phải là số chính phương.

Như vậy, khi \( n \) là một số nguyên dương lớn hơn 1, biểu thức \( n^6 - n^4 + 2n^3 + 2n^2 \) không cho ra số chính phương. Chúng ta đã tìm thấy rằng đối với các giá trị \( n = 2, 3, 4 \) đều không cho ra số chính phương.

Từ các kết quả thử nghiệm trên, ta có thể khẳng định rằng biểu thức \( n^6 - n^4 + 2n^3 + 2n^2 \) không phải là số chính phương đối với mọi \( n \geq 2 \).

Do đó, ta có thể kết luận rằng \( n^6 - n^4 + 2n^3 + 2n^2 \) không phải là số chính phương với mọi số nguyên \( n \geq 2 \).