Để tìm số tự nhiên \( n \) sao cho \( n^2 + 3n \) là số chính phương, chúng ta có thể đặt:

\[
n^2 + 3n = k^2
\]

với \( k \) là một số nguyên. Sắp xếp lại phương trình, ta có:

\[
n^2 + 3n - k^2 = 0
\]

Đây là một phương trình bậc hai về \( n \). Áp dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai, ta có:

\[
n = \frac{-3 \pm \sqrt{3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-k^2)}}{2 \cdot 1} = \frac{-3 \pm \sqrt{9 + 4k^2}}{2}
\]

Để \( n \) là một số tự nhiên, điều kiện cần là \( \sqrt{9 + 4k^2} \) phải là một số nguyên. Gọi điều này là \( m \), với:

\[
m^2 = 9 + 4k^2
\]

Sắp xếp lại, ta có:

\[
m^2 - 4k^2 = 9
\]

Phương trình này có thể được viết lại dưới dạng:

\[
(m - 2k)(m + 2k) = 9
\]

Bây giờ, ta sẽ xét các cặp ước số của 9:

1. \( (1, 9) \)
2. \( (3, 3) \)
3. \( (-1, -9) \)
4. \( (-3, -3) \)

### Cặp 1: \( (1, 9) \)
\[
m - 2k = 1 \\
m + 2k = 9
\]

Giải hệ phương trình:

\[
2m = 10 \Rightarrow m = 5 \\
4k = 8 \Rightarrow k = 2
\]

### Cặp 2: \( (3, 3) \)
\[
m - 2k = 3 \\
m + 2k = 3
\]

Giải hệ phương trình:

\[
2m = 6 \Rightarrow m = 3 \\
4k = 0 \Rightarrow k = 0
\]

### Cặp 3: \( (-1, -9) \) và cặp 4: \( (-3, -3) \)
Có thể bỏ qua vì không phù hợp với yêu cầu số tự nhiên.

### Tính \( n \):

Với các giá trị đã tìm được, ta tính \( n \):

1. Từ \( k = 2 \):
\[
n = \frac{-3 + 5}{2} = 1 \quad (n \geq 0) \\
n = \frac{-3 - 5}{2} \quad (không phải số tự nhiên)
\]
2. Từ \( k = 0 \):
\[
n = \frac{-3 + 3}{2} = 0 \quad (n \geq 0) \\
n = \frac{-3 - 3}{2} \quad (không phải số tự nhiên)
\]

### Kết luận:
Các giá trị của \( n \) là \( n = 0 \) và \( n = 1 \).

Vậy số tự nhiên \( n \) sao cho \( n^2 + 3n \) là số chính phương là: \( n = 0 \) và \( n = 1 \).