Để chứng minh rằng \( AM = \frac{1}{2} BC \) trong tam giác vuông \( ABC \) tại A, với \( M \) là trung điểm của cạnh \( BC \), chúng ta có thể áp dụng định lý Pythagore và tính chất của tam giác.

### Chứng minh:

1. **Đặt tọa độ:**
- Giả sử \( A(0, 0) \), \( B(0, b) \), và \( C(c, 0) \).
- Với cách đặt này, \( BC = \sqrt{(c - 0)^2 + (0 - b)^2} = \sqrt{c^2 + b^2} \).

2. **Tọa độ của M:**
- Trung điểm \( M \) của \( BC \) có tọa độ:
\[
M\left( \frac{0 + c}{2}, \frac{b + 0}{2} \right) = \left( \frac{c}{2}, \frac{b}{2} \right)
\]

3. **Tính \( AM \):**
- Tính độ dài \( AM \):
\[
AM = \sqrt{\left( \frac{c}{2} - 0 \right)^2 + \left( \frac{b}{2} - 0 \right)^2} = \sqrt{\frac{c^2}{4} + \frac{b^2}{4}} = \sqrt{\frac{c^2 + b^2}{4}} = \frac{\sqrt{c^2 + b^2}}{2}
\]

4. **So sánh với \( BC \):**
- Ta biết từ định lý Pythagore:
\[
BC = \sqrt{c^2 + b^2}
\]
Do đó:
\[
AM = \frac{BC}{2}
\]
Như vậy, ta có:
\[
AM = \frac{1}{2} BC
\]

### Kết luận:
Chúng ta đã chứng minh được rằng \( AM = \frac{1}{2} BC \).