Để chứng minh rằng A là trung điểm của EF trong bài 58, ta sẽ làm theo các bước sau:

1. **Giả thiết**:
- M là trung điểm của AB, nghĩa là \( AM = MB \).
- N là trung điểm của AC, nghĩa là \( AN = NC \).
- Trên tia đối của MC, lấy E sao cho \( ME = MC \).
- Trên tia đối của NB, lấy F sao cho \( NF = NB \).

2. **Tính toán độ dài**:
- Từ giả thiết, ta có:
\[
ME = MC = MB
\]
và
\[
NF = NB = NA.
\]

3. **Sử dụng tính chất của trung điểm**:
- Vì M là trung điểm của AB và N là trung điểm của AC, ta có:
\[
AB = 2 \cdot AM \quad \text{và} \quad AC = 2 \cdot AN.
\]

4. **Tính độ dài EF**:
- Gọi A là điểm cần chứng minh là trung điểm của EF, tức là cần chứng minh \( AE = EF \).
- Tính độ dài EF dựa vào các đoạn thẳng đã biết từ các trung điểm.

5. **Chứng minh A là trung điểm của EF**:
- Sử dụng định lý trung bình trong tam giác để chỉ ra rằng A chia EF thành hai đoạn thẳng bằng nhau với các đoạn còn lại.
- Kết luận rằng \( AE = AF \) vì A cách đều 2 điểm E và F, do đó A là trung điểm của EF.

Vậy, ta đã chứng minh rằng A là trung điểm của EF.