Để giải quyết bài toán, chúng ta sẽ thực hiện từng phần một.

### a) Chứng minh MN là trung bình của tam giác ABC

Để chứng minh rằng MN là trung bình của tam giác ABC, chúng ta sử dụng định nghĩa và một số tính chất của trung điểm và đường thẳng song song.

1. Gọi M là trung điểm của AB, tức là \(|AM| = |MB|\).
2. Theo giả thiết, MN // BC, nghĩa là MN và BC là hai đường thẳng song song.
3. Bởi vì M là trung điểm của AB và MN song song với BC, theo tính chất của đường thẳng trung bình trong tam giác, đoạn MN sẽ bằng một nửa đoạn BC.
4. Từ đó, ta có:
\[
|MN| = \frac{1}{2} |BC|.
\]
5. Vậy MN là đường thẳng đi qua trung điểm M của AB, song song với BC và có chiều dài bằng một nửa chiều dài của BC.

Do đó, chúng ta đã chứng minh rằng MN là đường trung bình của tam giác ABC.

### b) Tứ giác AICK là hình gì? Vì sao?

1. Gọi I là điểm cắt của tia phân giác của góc A với đoạn BC. Vì N là trung điểm của IK, do đó \( |IN| = |NK| \).
2. Khi đó, ta có tứ giác AICK, với điểm I nằm trên đoạn BC.
3. Ta sẽ chứng minh rằng tứ giác AICK là hình bình hành.
- Để chứng minh điều này, ta cần chứng minh hai cặp cạnh đối diện của tứ giác AICK là song song và bằng nhau.
- Theo định nghĩa của điểm I, từ tính chất của tia phân giác, ta có:
\[
\frac{IB}{IC} = \frac{AB}{AC}.
\]
- Do N là trung điểm của IK và MN // BC, cho nên \( |IN| = |NK| \) và do đó \( |IA| \parallel |KC| \).

Như vậy, do có các cặp cạnh đối diện song song và bằng nhau, tứ giác AICK là hình bình hành.

### Chứng minh IB · NC = IC · MB

1. Từ tính chất của phân giác, ta có:
\[
\frac{IB}{IC} = \frac{AB}{AC}.
\]
Ký hiệu:
\[
IB = a, IC = b, AB = c, AC = d \implies \frac{IB}{IC} = \frac{a}{b} = \frac{c}{d}.
\]
2. Ta cũng biết rằng MB = \(\frac{1}{2}AB = \frac{1}{2}c\) và NC = \(\frac{1}{2}BC\) (theo MN là trung bình).
3. Bây giờ, để chứng minh IB · NC = IC · MB, ta có:
\[
IB \cdot NC = a \cdot \frac{1}{2}|BC|,
\]
\[
IC \cdot MB = b \cdot \frac{1}{2}c.
\]
4. Do đó, từ tỉ lệ giữa các cạnh, có thể viết lại:
\[
a \cdot |NC| = b \cdot |MB| \implies IB \cdot NC = IC \cdot MB.
\]

Dưới đây là chứng minh đã được hoàn tất cho bài toán.