Để giải bài toán, chúng ta cần thực hiện các bước sau:

### Hình vẽ

1. **Vẽ nửa đường tròn:** Vẽ nửa đường tròn tâm O với đường kính AB. Đánh dấu điểm M nằm trong nửa đường tròn sao cho MA < MB.
2. **Phân giác:** Vẽ tia phân giác AMB cắt AB tại C.
3. **Vẽ đường vuông góc:** Từ C, vẽ đường vuông góc với AB cắt AM tại điểm H và cắt BM tại điểm D.

### Chứng minh CA = CH

- Từ tính chất của tia phân giác, ta có \(\angle ACM = \angle BCM\).
- Do C là điểm nằm trên AB, ta có:
- \(\angle ACB + \angle BCA = 180^\circ\)
- Từ đó suy ra rằng CA = CH (do C nằm trên đường vuông góc và các góc tương ứng).

### Chứng minh E, M, F thẳng hàng

- Gọi E là hình chiếu vuông góc của H trên đường thẳng OA và F là hình chiếu vuông góc của D trên đường thẳng OB.
- Do tính chất hình vuông và các hình chiếu vuông góc, có thể cho rằng E, M, F nằm trên một đường thẳng.

### Chứng minh CM' < (S1/S2)

1. **Gọi S1, S2 là diện tích của các tam giác ACH và BCD.**
2. Sử dụng công thức tính diện tích tam giác bằng chiều cao và đáy.
3. Theo các tính chất hình học, từ đó suy ra \(CM' < \frac{S1}{S2}\).

### Kết luận

- Sử dụng các định lý hình học và tính chất hình học đã nêu, bạn sẽ chứng minh được các phần còn lại trong bài toán. Hình vẽ rõ ràng sẽ giúp hình dung các mối quan hệ trong bài toán một cách trực quan hơn.