Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức

Để tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức \( A \), \( B \), và \( C \), ta sẽ phân tích từng biểu thức một:

### a) \( A = |x - 2011| + |x - 2012| \)
Biểu thức này đạt giá trị nhỏ nhất khi \( x \) nằm giữa hai số 2011 và 2012.

- Nếu \( x = 2011.5 \):
\[
A = |2011.5 - 2011| + |2011.5 - 2012| = 0.5 + 0.5 = 1
\]

Vậy giá trị nhỏ nhất của \( A \) là \( 1 \).

### b) \( B = |x - 2010| + |x - 2011| + |x - 2012| \)
Biểu thức này đạt giá trị nhỏ nhất khi \( x \) là trung bình của ba số 2010, 2011 và 2012.

- Nếu \( x = 2011 \):
\[
B = |2011 - 2010| + |2011 - 2011| + |2011 - 2012| = 1 + 0 + 1 = 2
\]

Vậy giá trị nhỏ nhất của \( B \) là \( 2 \).

### c) \( C = |x - 1| + |x - 2| + \ldots + |x - 100| \)
Biểu thức này là tổng các khoảng cách từ \( x \) đến các số từ 1 đến 100. Để tìm giá trị nhỏ nhất, \( x \) nên bằng giá trị trung bình của các số từ 1 đến 100.

- Giá trị trung bình của 1 đến 100 là \( 50.5 \).

Khi \( x = 50.5 \):
\[
C = \sum_{k=1}^{100} |50.5 - k|
\]

Tuy nhiên, cách tổng quát hơn là tính toán khi \( x \) là giá trị trung bình, tức là \( |x - 1| + |x - 2| + \ldots + |x - 100| \) tại trung tâm sẽ cho:

\[
C = \sum_{k=1}^{100} |k - 50.5|
\]
Tính toán cụ thể sẽ đạt giá trị nhỏ hơn so với các giá trị khác.

Vậy giá trị nhỏ nhất của \( C \) là \( 2450 \).

### Tóm tắt kết quả:
- Giá trị nhỏ nhất của \( A \) là \( 1 \).
- Giá trị nhỏ nhất của \( B \) là \( 2 \).
- Giá trị nhỏ nhất của \( C \) là \( 2450 \).