Khi phân tích đa thức \( f(x) = x^6 + (x - 1)^3 - (x + 1)^3 + 6x^2 - 62 \) thành nhân tử ta được \( f(x) = (x + 2)(x - 2)(x^2 - ax + b)(x^2 + ax + b) \) (với \( a, b \) là số tự nhiên). Giá trị của \( a^2 + b = \)

Để phân tích đa thức \( f(x) = x^6 + (x - 1)^3 - (x + 1)^3 + 6x^2 - 62 \), ta thực hiện các bước sau đây:

1. **Tính \((x - 1)^3\) và \((x + 1)^3\)**:
\[
(x - 1)^3 = x^3 - 3x^2 + 3x - 1
\]
\[
(x + 1)^3 = x^3 + 3x^2 + 3x + 1
\]

2. **Thay vào phương trình**:
\[
f(x) = x^6 + (x^3 - 3x^2 + 3x - 1) - (x^3 + 3x^2 + 3x + 1) + 6x^2 - 62
\]

Rút gọn:
\[
(x^6 + x^3 - x^3) + (-3x^2 - 3x^2) + (3x - 3x) + (-1 - 1) + 6x^2 - 62
\]
\[
= x^6 - 6x^2 - 2 - 62
\]
\[
= x^6 - 6x^2 - 64
\]

3. **Biến đổi thành dạng tích**:
Ta muốn tìm \((x + 2)(x - 2)(x^2 - ax + b)(x^2 + ax + b)\):
Giả sử \( f(x) = (x^2 - 4)(x^4 + px^2 + q) \).

Đặt \( m = x^4 + px^2 + q \), ta có:
\[
f(x) = x^6 + (p - 4)x^4 + (q - 4p)x^2 - 64
\]

So sánh với \( f(x) = x^6 + 0x^4 - 6x^2 - 64 \):
Ta có hệ phương trình:
1. \( p - 4 = 0 \) → \( p = 4 \)
1. \( q - 4p = -6 \) → \( q - 16 = -6 \) → \( q = 10 \)

Vậy \( f(x) = (x^2 - 4)(x^4 + 4x^2 + 10) \).

4. **Tiếp theo phân tích \( x^4 + 4x^2 + 10 \)**:
Đặt \( y = x^2 \), ta có phương trình \( y^2 + 4y + 10 = 0 \).
Tính nghiệm:
\[
D = 16 - 40 = -24 \quad (\text{vô nghiệm thực})
\]
Nên \( x^4 + 4x^2 + 10 \) không phân tích được nữa.

5. **Giải hệ phương trình**:
Từ cách phân tích này ta có hệ:
\[
a = 4, \quad b = 10
\]

6. **Tính giá trị \( a^2 + b \)**:
\[
a^2 + b = 4^2 + 10 = 16 + 10 = 26
\]

Vậy giá trị của \( a^2 + b \) là \( \boxed{26} \).