Để giải bài toán này, trước tiên, ta cần vẽ hình tam giác ABC vuông tại A với AB < AC. Ký hiệu các điểm như sau:

- \( A(0, 0) \)
- \( B(0, b) \) với \( b = AB \)
- \( C(a, 0) \) với \( a = AC \)
- Điểm \( E \) nằm trên cạnh \( BC \) sao cho \( BE = BA = b \).

### a) Tam giác ABE là tam giác gì?
Tam giác ABE là tam giác vuông tại B bởi vì \( AB \) vuông góc với \( AE \).

Chứng minh rằng \( \triangle ABD = \triangle EBD \):

- Trong tam giác \( ABC \):

- Ta có \( \angle ABC = 90^\circ \)
- \( AB = AB \)
- \( BD \) là tia phân giác nên \( \frac{AD}{DC} = \frac{AB}{BC} \).

- Do \( BE = BA \) => \( \triangle ABD \) và \( \triangle EBD \) có chung cạnh \( BD \) và có hai cạnh khác bằng nhau:
- \( AB = BE \)

Từ đó theo tiêu chí cạnh-góc-cạnh (CGC), ta có:
\[
\triangle ABD \cong \triangle EBD
\]

### b) Chứng minh DE vuông góc với BC:
Để chứng minh \( DE \perp BC \), ta sẽ sử dụng tính chất của đường phân giác.

- Theo định lý tia phân giác, \( D \) là một điểm trên \( AC \) sao cho \( \frac{AD}{DC} = \frac{AB}{BC} \).
- Do đó, \( BD \) phân chia góc \( ABC \) thành hai góc bằng nhau, tức là \( \angle ABD = \angle DBC \).

Ta có mối liên hệ giữa góc và cạnh:

- Tổng \( \angle ABD + \angle DBC = 90^\circ \).
- Suy ra \( \angle ABD + \angle DBC = \angle ABE + \angle DEB = 90^\circ \).

Vì vậy, \( DE \perp BC \) (đường phân giác sẽ là vuông góc với cạnh đối diện trong tam giác vuông).

### c) BD có là đường trung trực của AE không?
Để xác định xem \( BD \) có là đường trung trực của \( AE \) hay không, ta cần kiểm tra:

1. **Điều kiện đường trung trực:** đường trung trực của một đoạn thẳng là một đường thẳng vuông góc với đoạn thẳng đó và đi qua trung điểm của đoạn thẳng.

- Tổng hợp lại, \( BD \) là phân giác của góc \( ABC \), không nhất thiết là đường trung trực của \( AE \).

Vì vậy, do \( AB \neq AE \) (vì \( BE = BA \) mà \( E \) không nằm trên đường thẳng \( AC \)) nên:

Kết luận: **BD không phải là đường trung trực của AE.**

### Tóm tắt:
a) Tam giác ABE là tam giác vuông tại B; \( \triangle ABD \cong \triangle EBD \).
b) \( DE \perp BC \).
c) BD không phải là đường trung trực của AE.