Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A =2x²-4x+7/x²-2x+2

Để tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

\[
A = \frac{2x^2 - 4x + 7}{x^2 - 2x + 2}
\]

ta có thể sử dụng phương pháp đạo hàm.

Đầu tiên, hãy đặt hàm số:

\[
f(x) = 2x^2 - 4x + 7
\]
\[
g(x) = x^2 - 2x + 2
\]

Biểu thức \(A\) có thể viết lại như:

\[
A = \frac{f(x)}{g(x)}
\]

Dùng quy tắc đạo hàm thương, ta có:

\[
A' = \frac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{(g(x))^2}
\]

Bây giờ tính đạo hàm của \(f(x)\) và \(g(x)\):

\[
f'(x) = 4x - 4
\]
\[
g'(x) = 2x - 2
\]

Thay vào công thức, ta có:

\[
A' = \frac{(4x - 4)(x^2 - 2x + 2) - (2x^2 - 4x + 7)(2x - 2)}{(x^2 - 2x + 2)^2}
\]

Bây giờ, để tìm giá trị lớn nhất của \(A\), ta cần giải phương trình \(A' = 0\) để tìm vị trí các điểm cực trị.

Tuy nhiên, ta cũng có thể tính giá trị của \(A\) tại các điểm cụ thể hoặc vẽ đồ thị của hàm này để tìm giá trị lớn nhất. Đây là một hàm bậc hai chia cho một hàm bậc hai, nên nó có thể có giá trị lớn nhất xác định.

Phân tích biểu thức:

Biểu thức \(g(x) = x^2 - 2x + 2\) luôn dương vì \(x^2 - 2x + 1 \geq 0\) (theo định lý bất biến bậc hai).

Ta có thể thay đổi biến hoặc thử với một số giá trị của \(x\) để tính giá trị của \(A\).

Thử các giá trị \(x = 0\), \(x = 1\), và \(x = 2\):

1. Khi \(x = 0\):

\[
A(0) = \frac{2(0)^2 - 4(0) + 7}{(0)^2 - 2(0) + 2} = \frac{7}{2} = 3.5
\]

2. Khi \(x = 1\):

\[
A(1) = \frac{2(1)^2 - 4(1) + 7}{(1)^2 - 2(1) + 2} = \frac{2 - 4 + 7}{1 - 2 + 2} = \frac{5}{1} = 5
\]

3. Khi \(x = 2\):

\[
A(2) = \frac{2(2)^2 - 4(2) + 7}{(2)^2 - 2(2) + 2} = \frac{8 - 8 + 7}{4 - 4 + 2} = \frac{7}{2} = 3.5
\]

Từ các phép thử, giá trị lớn nhất là \(5\) khi \(x = 1\).

Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức \(A\) là

\[
\boxed{5}
\]