Để phân tích đa thức \( ab(a-b) + bc(b-c) + ca(c-a) \) thành nhân tử, ta sẽ thực hiện các bước sau:

1. **Nhóm các hạng tử**: Chúng ta có thể nhóm lại theo cách dễ nhận thấy:

\[
ab(a-b) + bc(b-c) + ca(c-a)
\]

2. **Khai thác chung**: Từ mỗi hạng tử, ta có thể tìm những yếu tố chung.

- Hạng tử đầu tiên: \( ab(a-b) \)
- Hạng tử thứ hai: \( bc(b-c) \)
- Hạng tử thứ ba: \( ca(c-a) \)

3. **Nhìn vào các biểu thức**: Ta thấy rằng mỗi hạng tử có thể được viết lại theo dạng:

\[
ab(a-b) = ab \cdot a - ab \cdot b
\]
\[
bc(b-c) = bc \cdot b - bc \cdot c
\]
\[
ca(c-a) = ca \cdot c - ca \cdot a
\]

4. **Kết hợp lại**: Cố gắng tìm một nhân tử chung cho toàn bộ biểu thức. Các hạng tử đều có những phần liên quan đến \( a \), \( b \), và \( c \).

Sau khi phân tích kỹ, chúng ta có thể nhóm như sau:

\[
= a(b(a-b) + c(c-a)) + b(c(b-c))
\]

5. **Rút gọn**: Kết hợp lại các yếu tố:

\[
= (a(b(c-a) - b(a-b)) + b(c-c))
\]

Cuối cùng, ta có thể tìm ra các yếu tố chung và có thể viết biểu thức thành dạng:

\[
= (a - b)(b(c - a) + ab)
\]

Do đó, đa thức đã được phân tích thành nhân tử như sau:

\[
= (a - b)(bc + ab) + (b - c)(ca)
\]

Tóm lại, từ đa thức ban đầu, chúng ta đã biến đổi và nhóm lại để đưa ra biểu thức ở dạng nhân tử.