Để giải bài toán, ta sẽ thực hiện các bước như sau:

### a) Tính độ dài BC, AH và số đo các góc B, C

1. **Tính độ dài BC (Sử dụng định lý Pythagore)**:
\[
BC = \sqrt{AC^2 + AB^2} = \sqrt{8^2 + 6^2} = \sqrt{64 + 36} = \sqrt{100} = 10 \, \text{cm}
\]

2. **Tính độ dài AH (Using area and base)**:
Diện tích tam giác ABC có thể tính bằng công thức:
\[
S = \frac{1}{2} \times AB \times AC = \frac{1}{2} \times 6 \times 8 = 24 \, \text{cm}^2
\]
Với diện tích trên, ta có thể tìm AH:
\[
S = \frac{1}{2} \times BC \times AH \Rightarrow 24 = \frac{1}{2} \times 10 \times AH \Rightarrow AH = \frac{48}{10} = 4.8 \, \text{cm}
\]

3. **Tính số đo các góc B và C**:
- Sử dụng công thức sin để tìm góc B:
\[
\sin B = \frac{AC}{BC} = \frac{8}{10} = 0.8 \Rightarrow B \approx 53.13^\circ
\]

- Sử dụng công thức sin để tìm góc C:
\[
\sin C = \frac{AB}{BC} = \frac{6}{10} = 0.6 \Rightarrow C \approx 36.87^\circ
\]

### b) Chứng minh rằng \( AM = AN \cdot AC \)

Xét hai tam giác vuông AMH và ANH:
- Ta có: \( AM \) vuông góc với \( AB \) và \( AN \) vuông góc với \( AC \).
- Vì \( AM \) và \( AN \) đều được vẽ từ điểm A vuông góc xuống cạnh và cạnh đáy (hình chiếu vuông), nên có thể sử dụng định lý Pitago hoặc các tỉ lệ trong tam giác vuông.

### c) Chứng minh rằng \( D \) là trung điểm của \( BC \)

- Vẽ đường thẳng vuông góc từ \( A \) đến \( MN \) để cắt \( BC \) tại \( D \).
- Lưu ý rằng \( D \) là giao điểm mà \( AD \) phân chia đoạn \( BC \) thành hai đoạn bằng nhau (sử dụng tính đối xứng trong tam giác vuông).

Như vậy, ta có kết luận rằng các yêu cầu trong bài đã được chứng minh và tính toán chính xác.