Một công ty sản xuất dụng cụ thể thao nhận được đơn đặt hàng sản xuất 10000 quả bóng pickleball. Công ty này sở hữu một số máy làm bóng giống nhau, mỗi máy có thể sản xuất 40 quả bóng trong một giờ. Chi phí để thiết lập một máy là 200 nghìn đồng. Khi được thiết lập, hoạt động sản xuất sẽ diễn ra hoàn toàn tự động dưới sự giám sát. Số tiền phải trả cho người giám sát là 180 nghìn đồng một giờ (người này sẽ giám sát tất cả các máy hoạt động). Hỏi công ty nên sử dụng bao nhiêu máy để chi phí sản xuất là thấp nhất?

Để xác định số máy sản xuất tối ưu giúp giảm chi phí sản xuất, chúng ta có thể tính toán như sau:

1. **Số lượng bóng cần sản xuất**: 10,000 quả bóng.

2. **Sản lượng của một máy**: 40 quả bóng/giờ.

3. **Thời gian cần để sản xuất 10,000 quả bóng với \( n \) máy**:
\[
\text{Thời gian} = \frac{10,000}{40n} = \frac{250}{n} \text{ giờ}.
\]

4. **Chi phí thiết lập máy**:
- Chi phí thiết lập đều là cố định: \( 200n \) nghìn đồng.

5. **Chi phí giám sát**:
- Chi phí giám sát = 180 nghìn đồng/giờ × Số giờ sản xuất:
\[
\text{Chi phí giám sát} = 180 \times \frac{250}{n} = \frac{45,000}{n} \text{ nghìn đồng}.
\]

6. **Tổng chi phí**:
\[
C(n) = 200n + \frac{45,000}{n}.
\]

7. **Tối ưu hóa**:
Để tối thiểu hóa chi phí, cần tìm giá trị của \( n \) sao cho đạo hàm của \( C(n) \) bằng 0:
\[
C'(n) = 200 - \frac{45,000}{n^2} = 0.
\]
Giải phương trình:
\[
200n^2 = 45,000 \implies n^2 = 225 \implies n = 15.
\]

8. **Kết luận**:
Công ty nên sử dụng **15 máy** để giảm chi phí sản xuất xuống mức thấp nhất.