Tính: 11^2 + 13^3 +...+ 199^2

Để tính tổng của dãy số từ \(11^2\) đến \(199^2\) với bước nhảy là 2 (tức là các số lẻ từ 11 đến 199), ta có thể diễn đạt tổng này như sau:

Dãy số là \(11, 13, 15, \ldots, 199\).

### Bước 1: Xác định số hạng cuối cùng và số lượng hạng

Số hạng cuối cùng là 199, và số hạng đầu tiên là 11. Ta có thể tính số lượng số hạng trong dãy này bằng công thức số hạng của cấp số cộng:

\[
a_n = a + (n-1) d
\]

Trong đó:
- \(a = 11\) (số hạng đầu tiên)
- \(d = 2\) (công sai)
- \(a_n = 199\) (số hạng cuối cùng)

Giải phương trình:

\[
199 = 11 + (n-1) \cdot 2
\]

Sắp xếp lại:

\[
199 - 11 = (n-1) \cdot 2
\]
\[
188 = (n-1) \cdot 2
\]
\[
n-1 = 94
\]
\[
n = 95
\]

Vậy ta có 95 số hạng.

### Bước 2: Tính tổng các số hạng bình phương

Chúng ta cần tính tổng của \(11^2 + 13^2 + 15^2 + \ldots + 199^2\). Sử dụng công thức tổng bình phương:

Tổng công thức của \(n\) số hạng lẻ từ \(1\) đến \(2n-1\) là \(n^2\).

Vì ta cần tính tổng bình phương của các số lẻ từ 11 đến 199, số hạng của ta sẽ là \(x_k = 10 + 2k\) với \(k = 1, 2, \ldots, 95\).

Tổng bình phương:

\[
\sum_{k=1}^{95} (10 + 2k)^2
\]
\[
= \sum_{k=1}^{95} (100 + 40k + 4k^2)
\]

Tách ra thành các tổng:

\[
= \sum_{k=1}^{95} 100 + \sum_{k=1}^{95} 40k + \sum_{k=1}^{95} 4k^2
\]

#### Tổng từng phần

1. \(\sum_{k=1}^{95} 100 = 100 \cdot 95 = 9500\)
2. \(\sum_{k=1}^{95} k = \frac{95 \cdot 96}{2} = 4560\)
3. \(\sum_{k=1}^{95} k^2 = \frac{95 \cdot 96 \cdot 191}{6} = 28510\)

### Tính tổng:

Tổng cả ba phần lại:

- Tổng 1: \(9500\)
- Tổng 2: \(40 \cdot 4560 = 182400\)
- Tổng 3: \(4 \cdot 28510 = 114040\)

Kết quả cuối cùng là:

\[
T = 9500 + 182400 + 114040 = 305940
\]

### Kết luận

Vậy tổng \(11^2 + 13^2 + \ldots + 199^2 = 305940\).