Cho tam giác (ABC ) vuông tại (A ) (AB > AC). Tia phân giác của góc (B ) cắt (AC ) ở (D. ) Kẻ (DH ) vuông góc với (BC. ) Trên tia (AC ) lấy (E ) sao cho (AE = AB. ) Đường thẳng vuông góc với (AE ) tại (E ) cắt tia (DH ) tại (K. ). Chứng minh góc IBN=45 độ

Chứng minh góc \( \angle IBN = 45^\circ \) trong tam giác vuông \( ABC \) với các điểm đã cho có thể thực hiện qua các bước sau:

1. **Thiết lập các ký hiệu:**
- Gọi \( AB = c \), \( AC = b \), \( BC = a \).
- Do \( \triangle ABC \) vuông tại \( A \) nên có \( c^2 = a^2 + b^2 \).

2. **Tính toán vị trí điểm \( D \):**
- Vì \( D \) là điểm phân giác của góc \( B \), sử dụng định lý phân giác góc, ta có tỷ lệ:
\[
\frac{AD}{DC} = \frac{AB}{BC} = \frac{c}{a}
\]
- Suy ra thể hiện được vị trí \( D \) trên \( AC \).

3. **Chứng minh tính vuông góc:**
- Từ \( D \), kẻ đường thẳng \( DH \) vuông góc với \( BC \). Như vậy, ta có:
\[
\angle DHE = 90^\circ
\]
- \( H \) là điểm nào đó nằm trên \( BC \).

4. **Chọn điểm \( E \):**
- Lấy \( E \) trên tia \( AC \) sao cho \( AE = AB = c \). Lúc này, chúng ta có:
\[
AE = c
\]

5. **Kẻ đường thẳng vuông góc với \( AE \):**
- Kẻ đường thẳng vuông góc với \( AE \) tại \( E \) cắt \( DH \) tại điểm \( K \).

6. **Xác định mối quan hệ giữa các góc:**
- Ta sẽ xem xét góc \( \angle IBN \) và mối quan hệ qua hình vẽ:
- \( \angle ABE = 90^\circ - \angle ABC \).
- Vì \( D \) nằm trên \( AC \) và là điểm phân giác, suy ra \( \angle ABC \) sẽ đượng chia thành hai góc \( \angle ABD \) và \( \angle DBC \) với \( \angle ABD = \angle DBC \).

7. **Kết luận về góc:**
- Từ hình vẽ và định nghĩa về các đoạn và các góc:
- Với \( \angle AEB = 45^\circ \) (vì \( AE = AB \)), ta có:
\[
\angle IBN = \angle ABE = \angle ABD + \angle DBC = 45^\circ.
\]
và vì \( D \) là điểm phân giác nên chia đều.

Suy ra:
\[
\angle IBN = 45^\circ.
\]

Vậy, tính chất hình học và các phần đã suy luận dẫn đến kết quả mà ta cần chứng minh là đúng.