Chúng ta có phương trình bậc hai:

\[
x^2 - 2mx + (m - 1) = 0
\]

Với \( a = 1, b = -2m, c = m - 1 \), điều kiện để phương trình có hai nghiệm phân biệt là:

\[
\Delta = b^2 - 4ac > 0
\]

Tính discriminant:

\[
\Delta = (-2m)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (m - 1) = 4m^2 - 4(m - 1) = 4m^2 - 4m + 4 = 4(m^2 - m + 1)
\]

Để phương trình có hai nghiệm phân biệt, ta cần:

\[
m^2 - m + 1 > 0
\]

Phương trình bậc hai \( m^2 - m + 1 = 0 \) có delta:

\[
\Delta = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 1 - 4 = -3 < 0
\]

Vì vậy, \( m^2 - m + 1 \) luôn dương với mọi giá trị của \( m \). Ta kết luận phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt.

Tiếp theo, ta có điều kiện:

\[
\sqrt{x_1} + \sqrt{x_2} = 2
\]

Từ công thức Viète, ta có:

\[
x_1 + x_2 = 2m \quad \text{và} \quad x_1 x_2 = m - 1
\]

Gọi \( \sqrt{x_1} = a \) và \( \sqrt{x_2} = b \), ta có:

\[
a + b = 2 \quad \text{và} \quad ab = \sqrt{x_1 x_2} = \sqrt{m - 1}
\]

Từ \( a + b = 2 \), ta tìm được:

\[
b = 2 - a
\]

Thay vào biểu thức tích:

\[
a(2 - a) = \sqrt{m - 1} \\
2a - a^2 = \sqrt{m - 1} \\
a^2 - 2a + \sqrt{m - 1} = 0
\]

Để phương trình này có nghiệm, ta tính delta:

\[
\Delta = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot \sqrt{m - 1} = 4 - 4\sqrt{m - 1}
\]

Điều kiện để có nghiệm là:

\[
4 - 4\sqrt{m - 1} \geq 0 \\
\sqrt{m - 1} \leq 1 \\
m - 1 \leq 1 \\
m \leq 2
\]

Lập bảng kiểm tra để xem \( m \) có khả năng nào khác:

- Phương trình có hai nghiệm phân biệt.
- Cần có điều kiện \( m \leq 2 \) mà cho phép có hai nghiệm phân biệt.

Cả hai điều kiện đều được thoả mãn khi \( m \) không lớn hơn 2.

Cuối cùng, để tìm \( m \):

- Nghiệm cuối cùng là các giá trị \( m \) không lớn hơn 2, đảm bảo rằng \( m > 1 \) (vì từ \( x_1 x_2 = m - 1 > 0 \)).

Kết luận, \( m \) thoả mãn điều kiện là:

\[
m \in (1, 2]
\]