Tìm GTLN của biểu thức: \( A = 5 + 2xy + 14y - x^2 - 5y^2 - 2x \)

Để tìm giá trị lớn nhất (GTLN) của biểu thức \( A = 5 + 2xy + 14y - x^2 - 5y^2 - 2x \), chúng ta sẽ làm như sau:

1. **Chuyển đổi về dạng chuẩn**: Chúng ta sẽ sắp xếp lại biểu thức:

\[
A = -x^2 - 5y^2 + 2xy - 2x + 14y + 5
\]

2. **Tính đạo hàm riêng**: Tính đạo hàm riêng theo \( x \) và \( y \) và đặt bằng 0 để tìm nghiệm cực trị.

\[
\frac{\partial A}{\partial x} = -2x + 2y - 2 = 0
\]
\[
\frac{\partial A}{\partial y} = 2x - 10y + 14 = 0
\]

3. **Giải hệ phương trình**:

Từ phương trình 1:
\[
-2x + 2y - 2 = 0 \Rightarrow y = x + 1
\]

Thay \( y = x + 1 \) vào phương trình 2:

\[
2x - 10(x + 1) + 14 = 0
\]
\[
2x - 10x - 10 + 14 = 0 \Rightarrow -8x + 4 = 0 \Rightarrow x = \frac{1}{2}
\]
\[
y = \frac{1}{2} + 1 = \frac{3}{2}
\]

4. **Tính \( A \) tại điểm \( \left( \frac{1}{2}, \frac{3}{2} \right) \)**:

\[
A\left(\frac{1}{2}, \frac{3}{2}\right) = 5 + 2\left(\frac{1}{2}\right)\left(\frac{3}{2}\right) + 14\left(\frac{3}{2}\right) - \left(\frac{1}{2}\right)^2 - 5\left(\frac{3}{2}\right)^2 - 2\left(\frac{1}{2}\right)
\]
\[
= 5 + \frac{3}{2} + 21 - \frac{1}{4} - \frac{45}{4} - 1
\]
\[
= 5 + \frac{3}{2} + 21 - 1 - \frac{46}{4}
\]
\[
= 5 + 21 - 1 + \frac{3}{2} - \frac{46}{4}
\]
\[
= 25 - \frac{46}{4} + \frac{3}{2} = 25 - \frac{46}{4} + \frac{6}{4} = 25 - \frac{40}{4} = 25 - 10 = 15
\]

5. **Xem xét giá trị lớn nhất**:
- Do hàm này là một hàm bậc 2 với các hệ số âm, tức là có cực đại tại điểm trên.

**Kết luận**: Giá trị lớn nhất của biểu thức \( A \) là \( 15 \).