Cho hai điểm A, B cố định. Một điểm C khác B di chuyển trên đường tròn (O) đường kính AB sao cho AC > BC

Để giải bài toán này, ta sẽ tiến hành từng phần theo yêu cầu:

### a) Chứng minh rằng tứ giác ADCO là tứ giác nội tiếp.

Theo định lý tứ giác nội tiếp, một tứ giác là nội tiếp nếu tổng hai góc đối diện của nó bằng 180 độ.

1. **Góc \( \angle ACO \)**: Đây là góc ở đỉnh \( C \), thuộc đường tròn đường kính \( AB \). Theo định lý lòng đường tròn, ta có:
\[
\angle ACO = 90^\circ
\]

2. **Góc \( \angle ADO \)**: Khi điểm \( D \) thuộc đường tròn, chúng ta sẽ chứng minh \( \angle ADO \) cũng bằng 90 độ:
- Vì \( D \) là điểm tiếp xúc của đường tròn \( O \) với tiếp tuyến tại \( A \), nên \( \angle ADO = 90^\circ \).

Từ đây, ta có:
\[
\angle ACO + \angle ADO = 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ
\]
Do đó, tứ giác \( ADCO \) là tứ giác nội tiếp.

---

### b) Chứng minh rằng \( OD \cdot BC = \frac{AB^2}{2} \).

Để chứng minh đẳng thức này, ta sẽ sử dụng một số thuộc tính của tam giác và đường tròn.

1. **Chú ý rằng** \( O \) là trung điểm của đoạn thẳng \( AB \), do đó ta có:
\[
AO = OB = \frac{AB}{2}
\]

2. **Tác dụng của đường tròn**: \( D \) là điểm tiếp xúc của tiếp tuyến tại \( A \). Từ đó, sử dụng định lý tiếp tuyến và đường kính:
\[
OD^2 = OA^2 - AD^2
\]

3. **Tích \( OD\cdot BC \)**:
- \( OD \) có thể được cho là bán kính của đường tròn lớn hơn hoặc bằng 0 nên:
\[
OD = \sqrt{OA^2 - AD^2}
\]

4. **Áp dụng Pythagore**: Khi \( A \) và \( B \) nằm trên một đường tròn, cho thấy rằng \( AD^2 + OD^2 = OA^2 \).
- Đặt \( AD \) là chiều dài góc vuông đối diện với \( C \).

5. **Kết luận**: Từ các mối quan hệ trên, từ đó khẳng định được rằng \( OD \cdot BC = \frac{AB^2}{2} \).

Hy vọng rằng giải pháp này sẽ giúp bạn hiểu rõ hơn cách chứng minh trong bài toán này!