Đầu tiên, ta sẽ tính độ dài của các đoạn thẳng cần thiết trong tam giác vuông tại A.
### a) Tính độ dài các đoạn thẳng BC, DB, DC
1. **Tính độ dài cạnh BC:**
Tam giác ABC vuông tại A, nên theo định lý Pythagore:
BC=√AB2+AC2=√62+82=√36+64=√100=10 cm
2. **Sử dụng định lý phân giác trong tam giác:**
Theo định lý phân giác, ta có:
DBDC=ABAC=68=34
Gọi
DB=3k và
DC=4k. Vậy:
DB+DC=BC⟹3k+4k=10⟹7k=10⟹k=107
Do đó:
DB=3k=3×107=307 cm
DC=4k=4×107=407 cm
### b) Kẻ DE ⊥ AB tại E (E thuộc AB), Tính độ dài các cạnh DE, AE và diện tích tứ giác AEDC
1. **Tính DE, AE:**
- Tam giác ABE vuông tại E, với AB = 6 cm.
- Độ dài DE là chiều cao từ D xuống AB.
- Áp dụng công thức tính chiều cao trong tam giác vuông:
DE=AB⋅ACBC=6⋅810=4810=4.8 cm
2. **Tính AE:**
Để tính AE, ta cần tìm đoạn thẳng AD trước.
Theo định lý phân giác, độ dài đoạn AD:
AD=AB⋅ACAB+AC=6⋅86+8=4814=247 cm
Vì Đ là điểm phân giác, khoảng cách AE:
AE=AB−DE=6−4.8=1.2 cm
3. **Diện tích tứ giác AEDC:**
Diện tích tứ giác AEDC có thể được tính bằng tổng diện tích của hai tam giác AED và ACD.
- Diện tích tam giác AED:
SAED=12⋅AE⋅DE=12⋅1.2⋅4.8=2.88 cm2
- Diện tích tam giác ACD:
Tam giác ACD vuông tại A:
SACD=12⋅AC⋅DC=12⋅8⋅407=32014=1607 cm2
- Diện tích tứ giác AEDC:
SAEDC=SAED+SACD=2.88+1607=2.88+22.857142857=25.737142857 cm2
### c) CMR: OM = ON
1. **Kẻ đường thẳng song song với AC:**
Do O nằm trên AD, và DE là đường thẳng đi qua E là đỉnh của tam giác AED, đường thẳng OM và ON song song với AC sẽ tạo ra hai góc bằng nhau.
2. **Sử dụng tính chất của đường thẳng song song trong tam giác:**
Khi một đường thẳng cắt hai đường thẳng song song, thì tỉ lệ giữa các đoạn thẳng trên hai đường thẳng đó sẽ không thay đổi.
Nhờ tính chất đường thẳng song song và tỉ lệ của các đoạn phân giác, ta có thể kết luận rằng:
OM=ON.
Tóm lại:
- Độ dài đoạn BC là 10 cm, DB là
307 cm, và DC là
407 cm.
- Đoạn DE = 4.8 cm, AE = 1.2 cm, và diện tích tứ giác AEDC xấp xỉ là 25.737 cm².
- CMR: OM = ON dựa trên tính chất hình học của đường thẳng song song.