Để chứng minh bất đẳng thức đã cho:
a−ba+b+b−cb+c+c−ac+a<1
với
a,b,c là độ dài các cạnh của một tam giác, chúng ta bắt đầu bằng cách thực hiện các bước sau:
**Bước 1: Biến đổi các phân thức**
Ta có thể viết lại từng phần của biểu thức:
a−ba+b=1−2ba+b
b−cb+c=1−2cb+c
c−ac+a=1−2ac+a
Vậy, ta có thể viết lại toàn bộ biểu thức như sau:
a−ba+b+b−cb+c+c−ac+a=3−(2ba+b+2cb+c+2ac+a)
**Bước 2: Tìm giới hạn trên của biểu thức**
Chúng ta cần chứng minh rằng biểu thức này nhỏ hơn 1:
3−(2ba+b+2cb+c+2ac+a)<1
Điều này tương đương với:
2ba+b+2cb+c+2ac+a>2
**Bước 3: Sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz**
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz cho ba phân thức:
(a+b2+b+c2+c+a2)(2ba+b+2cb+c+2ac+a)≥(b+c+a)2
Bên trái của bất đẳng thức trở thành:
(a+b)+(b+c)+(c+a)2=2(a+b+c)2=a+b+c
Vậy ta có:
(a+b+c)(2ba+b+2cb+c+2ac+a)≥(b+c+a)2
**Bước 4: Kết luận**
Suy ra rằng:
2ba+b+2cb+c+2ac+a≥2
Điều này khẳng định rằng:
a−ba+b+b−cb+c+c−ac+a<1
Do đó, bất đẳng thức được chứng minh là đúng:
a−ba+b+b−cb+c+c−ac+a<1
**Kết luận:**
a−ba+b+b−cb+c+c−ac+a<1
đúng với mọi
a,b,c là các cạnh của một tam giác.