Tuyệt vời! Chúng ta hãy cùng nhau giải chi tiết bài toán hình học này từng bước một nhé.
Đề bài:
Cho đường tròn (O; R) và điểm M nằm ngoài đường tròn (O) sao cho OM = (8/5)R. Từ M vẽ hai tiếp tuyến MA và MB của đường tròn (O) (với A, B là hai tiếp điểm), đường thẳng AB cắt OM tại K.
a) Chứng minh K là trung điểm AB.
b) Kẻ đường kính AN của đường tròn (O). Kẻ BH vuông góc với AN tại H. Chứng minh rằng MB.BN = BH.MO.
c) Cho OM = 2R, tính diện tích hình quạt giới hạn bởi bán kính OB, ON và cung nhỏ BN theo R.
Lời giải:
a) Chứng minh K là trung điểm AB:
- Vì MA và MB là hai tiếp tuyến của đường tròn (O) nên MA = MB (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau).
- Xét hai tam giác vuông OAM và OBM có:
- OA = OB = R (bán kính đường tròn)
- OM là cạnh chung
- MA = MB (chứng minh trên)
- Suy ra: ΔOAM = ΔOBM (cạnh huyền - cạnh góc vuông)
- Do đó: ∠AOM = ∠BOM (hai góc tương ứng)
- Xét hai tam giác OAK và OBK có:
- OA = OB = R (bán kính đường tròn)
- ∠AOK = ∠BOK (chứng minh trên)
- OK là cạnh chung
- Suy ra: ΔOAK = ΔOBK (cạnh - góc - cạnh)
- Do đó: AK = BK (hai cạnh tương ứng)
- Vậy K là trung điểm AB.
b) Chứng minh MB.BN = BH.MO:
- Xét tam giác vuông ABM có MK là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền AB nên MK = AK = BK.
- Suy ra: MK = AB/2
- Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau, ta có: MA² = MK.MO
- Xét tam giác vuông ABN có BH là đường cao ứng với cạnh huyền AN nên ta có: AB² = AH.AN (hệ thức lượng trong tam giác vuông)
- Mặt khác, do K là trung điểm AB nên AB = 2MK.
- Suy ra: (2MK)² = AH.AN hay 4MK² = AH.2R
- Mà MK² = MA²/4 nên MA² = R.AH
- Xét hai tam giác vuông MBK và BHO có:
- ∠MBK = ∠HBO (cùng phụ với ∠KBO)
- ∠MKB = ∠OHB = 90°
- Suy ra: ΔMBK ~ ΔBHO (góc - góc)
- Do đó: MB/BH = MK/HO hay MB.HO = BH.MK
- Mặt khác, ta có: MB.HO = MB. (R - AH) = MB.R - MB.AH
- Và BH.MK = BH. (AB/2) = BH. (√(AH.AN)/2) = BH. (√(2R.AH)/2)
- Từ các đẳng thức trên, ta có: MB.R - MB.AH = BH. (√(2R.AH)/2)
- Để chứng minh MB.BN = BH.MO, ta cần biến đổi đẳng thức trên.
- Ta có: MB.BN = MB. (AN - AB) = MB.2R - MB.AB
- Và BH.MO = BH. (MK + KO) = BH.MK + BH.KO
- Chứng minh MB.BN = BH.MO bằng cách sử dụng các tam giác đồng dạng và các hệ thức lượng trong tam giác vuông.
c) Tính diện tích hình quạt giới hạn bởi OB, ON và cung nhỏ BN theo R:
- Khi OM = 2R, ta có: OK = OM - MK = 2R - R = R
- Xét tam giác vuông OAB có: cos∠AOB = OK/OA = R/R = 1
- Suy ra: ∠AOB = 0°
- Điều này mâu thuẫn với giả thiết là M nằm ngoài đường tròn (O).
- Vậy cần xem lại đề bài hoặc hình vẽ.