Ta sẽ giải từng phần của bài toán.

### Phần a: Chứng minh $OA$ vuông góc với $BC$ và $AB^2 = AH \cdot AO = AM \cdot AN$

1. **Chứng minh OA vuông góc với BC**:

Ta biết rằng $AB$ và $AC$ là tiếp tuyến chung tại các điểm $B$ và $C$ thuộc đường tròn tâm $O$ bán kính $R$. Do đó, $OB \perp AB$ và $OC \perp AC$.

Hãy xét tam giác $OAB$ và $OAC$:
- $OA$ cắt $BC$ tại điểm $H$.
- Theo định lý tiếp tuyến, ta có:
$$OA \perp AB \text{ và } OA \perp AC$$
- Trong tam giác vuông $AOB$, $OB$ là chiều cao, do đó $OA$ vuông góc với $BC$.

2. **Chứng minh $AB^2 = AH \cdot AO = AM \cdot AN$**:

- Ta có điểm $H$ là giao điểm của $OA$ với $BC$.
- Theo định lý tiếp tuyến, ta có:
$$AB^2 = AO \cdot AH$$
- Ngoài ra, vì $M$ và $N$ là các điểm cắt của $OA$ với đường tròn, theo định lý phần lớn - phần bé (gọi là định lý Hằng):
$$AM \cdot AN = AH \cdot AO$$
- Từ đó ta suy ra được:
$$AB^2 = AH \cdot AO = AM \cdot AN$$

### Phần b: Chứng minh $OA \parallel CD$ và $K$ là trung điểm của $CE$

1. **Chứng minh $OA \parallel CD$**:

- Kẻ đường kính $BD$, với $E$ là hình chiếu của $C$ lên $BD$.
- Tia $AC$ cắt $CE$ tại $K$. Do $C$ nằm trên đường tròn, ta có $OC \perp BD$.
- Vì $E$ là hình chiếu của $C$ lên $BD$, nên $CE \perp BD$.
- Xét góc $OAC$ và góc $KCE$, ta có:
- $OA \perp AB$ và $CE \perp BD$ (do tính chất hình chiếu)
- Do đó:
$$OA \parallel CD$$

2. **Chứng minh $K$ là trung điểm của $CE$**:

- Gọi $M$ là trung điểm của đoạn $CD$ và dựa trên tính chất các đoạn vuông góc, ta có:
$$CK = KE$$
- Vật lý mà $C$ và $E$ nằm trên một đường thẳng với $K$, do $CE \perp OA$.

### Phần c: Tính diện tích hình quạt giới hạn bởi $OB$ và $OC$ và cung nhỏ $BC$ theo $R$

- Diện tích hình quạt trong đường tròn bán kính $R$ được tính theo công thức:
$$S = \frac{1}{2} R^2 \theta$$
Trong đó $\theta$ là góc nằm giữa $OB$ và $OC$.

- Áp dụng định lý cos để tính góc $\theta$:
$$cos \theta = \frac{R^2 + R^2 - AB^2}{2R^2} = 1 - \frac{AB^2}{2R^2}$$

- Như đã chứng minh ở phần a, $AB^2 = AH \cdot AO$ và $AO = 2R - AH$.

Dẫn đến:
$$S = \frac{1}{2} R^2 \theta = \frac{1}{2} R^2 \cdot 2 \cdot cos^{-1}(AH)$$

Cụ thể, ta sẽ có diện tích hình quạt giới hạn $S = \frac{R^2}{2}(\theta)$.

Kết quả chi tiết sẽ phụ thuộc vào cách tính kích thước và thông tin từ các tiết diện / chi tiết bề mặt còn lại.

Hy vọng rằng hướng giải này giúp bạn củng cố kiến thức và hoàn thành bài toán!