Để chứng minh rằng \( MD \cdot FC = MC \cdot FD \), ta bắt đầu xem xét các yếu tố trong bài toán với hình vẽ kèm theo.

1. **Ký hiệu các điểm**: Cho đường tròn tâm \( O \) đường kính \( AB \) và dây \( CD \) vuông góc với \( AB \) tại điểm \( H \). Gọi điểm \( M \) nằm ngoài đường tròn, trên tia đối của tia \( CD \). Kẻ đường thẳng \( MB \) cắt đường tròn tại điểm \( E \) và đường thẳng \( AE \) cắt dây \( CD \) tại điểm \( F \). Gọi \( K \) là giao điểm của \( BF \) với đường tròn.

2. **Tính chất của đường tròn**: Ta có \( AB \) là đường kính của đường tròn, tức là \( OA = OB \). Dây \( CD \) vuông góc với \( AB \) tại điểm \( H \) cho nên \( CH = DH \).

3. **Sử dụng định lý Ptolemy**: Ta sẽ áp dụng định lý Ptolemy cho tứ giác \( ABFE \):

\[
AB \cdot FE = AE \cdot BF + AF \cdot BE
\]

Ta có thể xét tứ giác \( BCKF \) để áp dụng định lý này bởi vì \( K \) là giao điểm của \( BF \) với đường tròn.

4. **Chú ý tới các đoạn thẳng**: Vì \( F \) và \( D \) cùng nằm trên dây \( CD \) và \( CD \) vuông góc với \( AB \), ta có thể biết các đoạn thẳng này có một số tỷ lệ nhất định liên quan đến điểm \( M \) và các điểm trên đường tròn.

5. **Suy diễn từ đoạn thẳng cắt**: Từ tính chất cắt nhau của các đoạn thẳng, có thể xây dựng các tỉ lệ từ nghĩa của các đoạn \( MD, MC, FC, FD \).

6. **Áp dụng định lý Sin**: Thông qua các tam giác liên quan như \( BMF \) hay một số tam giác bao gồm các điểm cắt nhau và các cạnh tạo thành với các điểm ngoài đường tròn và trên đường tròn, có thể áp dụng định lý Sin để xây dựng được thể hiện rõ của các đoạn \( MD, MC, FC, FD \).

7. **Kết luận từ tỉ số**: Cuối cùng, bằng cách kết hợp tất cả các thông tin có được từ các tỉ lệ và mối quan hệ giữa các điểm, ta có thể xác lập được rằng \( MD \cdot FC = MC \cdot FD \) là đúng.

Do vậy, ta khẳng định rằng \( MD \cdot FC = MC \cdot FD \).