Để giải bài toán này, ta cần thực hiện các bước sau:

1. **Xác định thời gian đi từ nhà đến trường hàng ngày**:
- Nam xuất phát lúc 6 giờ 45 phút và đến trường lúc 7 giờ 10 phút.
- Thời gian đi là: 7 giờ 10 phút - 6 giờ 45 phút = 25 phút.

2. **Tính vận tốc hàng ngày**:
- Quãng đường là 5 km.
- Thời gian đi là 25 phút = 25/60 giờ = 5/12 giờ.
- Vận tốc hàng ngày $V_h$ là:
$$V_h = \frac{Quảng đường}{Thời gian} = \frac{5 \text{ km}}{5/12 \text{ giờ}} = 5 \text{ km} \times \frac{12}{5} = 12 \text{ km/h}.$$
- Chuyển đổi vận tốc sang mét/phút:
- 12 km/h = $12 \times \frac{1000 \text{ m}}{60 \text{ phút}} = 200 \text{ m/phút}$.

3. **Xác định thời gian mà Nam có để đến trường hôm đó**:
- Do xuất phát muộn 5 phút, giờ xuất phát là 6 giờ 50 phút.
- Thời gian còn lại để đến trường là: 7 giờ 10 phút - 6 giờ 50 phút = 20 phút.

4. **Tính vận tốc cần có để đến trường đúng giờ**:
- Quãng đường vẫn là 5 km (5000 m) và thời gian có là 20 phút.
- Đổi 20 phút sang giờ: 20 phút = 1/3 giờ.
- Vận tốc cần thiết $V_n$ là:
$$V_n = \frac{5000 \text{ m}}{1/3 \text{ giờ}} = 5000 \times 3 = 15000 \text{ m/h}.$$
- Chuyển tốc độ này sang m/phút, ta có:
- 15000 m/h = $\frac{15000 \text{ m}}{60 \text{ phút}} = 250 \text{ m/phút}$.

5. **Tính tăng thêm vận tốc**:
- Vận tốc cần thiết là 250 m/phút, vận tốc hàng ngày là 200 m/phút.
- Vận tốc cần tăng lên là:
$$V_t = V_n - V_h = 250 \text{ m/phút} - 200 \text{ m/phút} = 50 \text{ m/phút}.$$

**Kết luận**: Để đến trường đúng giờ, vận tốc của Nam phải tăng lên 50 mét/phút.