Để chứng minh tam giác \( \triangle HBA \sim \triangle ABC \), ta có thể sử dụng các công thức về tỉ lệ cạnh và góc của tam giác vuông. Cụ thể:

1. **Góc chung**:
- \( \angle HBA = \angle ABC \) (vì chúng đều là góc tạo bởi cạnh \( BA \) và đường cao \( AH \)).

2. **Góc vuông**:
- \( \angle AHB = 90^\circ \) (do \( AH \) là đường cao).
- \( \angle ACB = 90^\circ \) (tam giác \( ABC \) vuông tại \( A \)).

Từ đó, ta có các cặp góc tương ứng:
- \( \angle HBA = \angle ABC \)
- \( \angle AHB = \angle ACB \)

3. **Kết luận**:
- Vì \( \triangle HBA \) và \( \triangle ABC \) có hai cặp góc tương ứng bằng nhau, nên theo tiêu chí góc-góc (AA), ta có \( \triangle HBA \sim \triangle ABC \).

Tiếp theo, để chứng minh \( AC^2 = CH \cdot CB \), ta có thể sử dụng yếu tố tỷ lệ trong tam giác vuông:

1. **Áp dụng định lý Pythagore** cho cạnh tương ứng trong hai tam giác vuông:
- Từ \( \triangle ABC \), ta có:

\[
AB^2 + AC^2 = BC^2
\]

2. Sử dụng tỉ số cạnh của hai tam giác đồng dạng \( \triangle HBA \sim \triangle ABC \):

- Từ tam giác \( HBA \):

\[
\frac{CH}{CA} = \frac{BA}{BC}
\]

- Suy ra \( CH = \frac{AC \cdot BA}{BC} \).

3. **Áp dụng tính chất đường cao**:
- Ta có \( AB^2 = AH \cdot AC \) (vì \( AH \) là chiều cao ứng với cạnh \( BC \)).

Từ đây, khi vận dụng định lý lượng giác trong tam giác, sẽ có:

\[
AC^2 = CH \cdot CB,
\]

hoàn thành việc chứng minh.