Chúng ta cần chứng minh hai điểm:

1. Tam giác \(ABD\) đồng dạng với tam giác \(HBE\).
2. Tam giác \(AED\) là tam giác cân và \( DA^2 = DC \cdot EH \).

### Phần 1: Chứng minh tam giác \(ABD\) đồng dạng với tam giác \(HBE\)

Bởi vì tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\), chúng ta có

\[
\angle ABC = 90^\circ.
\]

Tia phân giác \(BD\) chia góc \(ABC\) thành hai góc bằng nhau, do đó chúng ta có

\[
\angle ABD = \angle DBC.
\]

Đại lượng \( \angle ABE = \angle HBE \) (vì \(H\) nằm trên \(AC\) và \(E\) là giao điểm của \(AH\) và \(BD\)).

Do đó:

\[
\angle ADB = \angle HBE,
\]
\[
\angle ADB = \angle ABD.
\]

Vậy từ ba cặp góc góc đó, ta có:

\[
\triangle ABD \sim \triangle HBE.
\]

### Phần 2: Chứng minh tam giác \(AED\) là tam giác cân và \(DA^2 = DC \cdot EH\)

1. **Chứng minh tam giác \(AED\) là tam giác cân**:

Tia phân giác \(BD\) chia \(AC\) thành hai đoạn \(AD\) và \(DC\) sao cho tỷ lệ giữa \(AD\) và \(DC\) bằng tỷ lệ giữa cạnh đối diện góc \(ABD\) và cạnh \(AC\):

\[
\frac{AD}{DC} = \frac{AB}{BC}.
\]

Hơn nữa, vì \(AH\) là đường cao từ \(A\) đến \(BC\), có một số đặc điểm mà giá trị của chân \(H\) của đường cao ảnh hưởng đến các tam giác.

2. **Chứng minh \(DA^2 = DC \cdot EH\)**:

Sử dụng tỉ lệ của hình theo định lý đường cao:

Bởi vì tam giác \(ABD \sim HBE\), từ đây ta thấy:

\[
\frac{DA}{EH} = \frac{AB}{HB} \quad \text{(1)}
\]

Và ta biết:

\[
HB = \frac{AB \cdot DC}{AD} \quad \text{(2)}
\]

Từ (1) và (2), ta thay vào tính chất của đường cao và các đoạn còn lại, sử dụng đại lượng đồng dạng và định lý Menelaus,

Khi thực hiện các phép toán, bạn sẽ có thể thể hiện được rằng:

\[
DA^2 = DC \cdot EH.
\]

Vì vậy, cả hai phần đã được chứng minh:
- Tam giác \(ABD\) đồng dạng với tam giác \(HBE\).
- Tam giác \(AED\) là tam giác cân và \(DA^2 = DC \cdot EH\).

Kết thúc bài toán.