Để tìm hàm \( F(x) \) từ các điều kiện đã cho, ta bắt đầu với biểu thức tổng quát cho \( F(x) \):

\[
F(x) = ax + b
\]

Dựa vào các điều kiện:

1. \( F(-2) = 1 \)
2. \( F(1) = 2 \)

Ta thay các giá trị vào biểu thức của \( F(x) \):

Từ \( F(-2) = 1 \):

\[
a(-2) + b = 1 \quad \Rightarrow \quad -2a + b = 1 \quad \text{(1)}
\]

Từ \( F(1) = 2 \):

\[
a(1) + b = 2 \quad \Rightarrow \quad a + b = 2 \quad \text{(2)}
\]

Giải hệ phương trình (1) và (2):

Từ phương trình (2), ta có:

\[
b = 2 - a
\]

Thay giá trị của \( b \) từ phương trình (2) vào phương trình (1):

\[
-2a + (2 - a) = 1
\]

Sắp xếp lại, ta được:

\[
-3a + 2 = 1 \quad \Rightarrow \quad -3a = -1 \quad \Rightarrow \quad a = \frac{1}{3}
\]

Thay \( a \) vào phương trình (2) để tìm \( b \):

\[
b = 2 - \frac{1}{3} = \frac{6}{3} - \frac{1}{3} = \frac{5}{3}
\]

Vậy, ta có:

\[
a = \frac{1}{3}, \quad b = \frac{5}{3}
\]

Hàm \( F(x) \) được viết lại như sau:

\[
F(x) = \frac{1}{3}x + \frac{5}{3}
\]

Để kiểm tra lại:

- Với \( x = -2 \):

\[
F(-2) = \frac{1}{3}(-2) + \frac{5}{3} = -\frac{2}{3} + \frac{5}{3} = 1 \quad \text{(đúng)}
\]

- Với \( x = 1 \):

\[
F(1) = \frac{1}{3}(1) + \frac{5}{3} = \frac{1}{3} + \frac{5}{3} = 2 \quad \text{(đúng)}
\]

Vậy, kết luận:

\[
F(x) = \frac{1}{3}x + \frac{5}{3}
\]