Để chứng minh các yếu tố trong bài toán, chúng ta sẽ tiến hành làm theo hai phần a và b như đã nêu.

### Phần a: Chứng minh tứ giác BCDE nội tiếp

1. **Góc BDC** và **góc BEC**: Do đường cao \( BD \) và \( CE \) cắt nhau tại \( H \), ta có \( \angle BDC + \angle BEC = 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ \).
Do đó, \( \angle BDC + \angle BEC = 180^\circ \).

2. **Kết luận**: Với hai cặp góc đối diện của tứ giác \( BCDE \) (góc \( BDC \) và góc \( BEC \)), có tổng bằng \( 180^\circ \) cho thấy rằng tứ giác \( BCDE \) là tứ giác nội tiếp, tức là có thể vẽ được một đường tròn đi qua bốn điểm \( B, C, D, E \).

### Phần b: Chứng minh \( NDM = NEM \)

1. **Ký hiệu và Đặt**: Gọi \( N \) là trung điểm của đoạn \( AH \) và \( M \) là trung điểm của đoạn \( BC \).

2. **Xét các tam giác**: Chúng ta sẽ xem xét hai tam giác \( NDM \) và \( NEM \).
- Tam giác \( NDM \) có các điểm \( N, D, M \).
- Tam giác \( NEM \) có các điểm \( N, E, M \).

3. **Chứng minh hai tam giác đồng dạng**:
- Do \( M \) là trung điểm của \( BC \), ta có \( MB = MC \).
- Tương tự, \( D \) và \( E \) là các đỉnh của hai đường cao của tam giác \( ABC \), và theo định nghĩa, \( D \) và \( E \) nằm trên đường phân giác của các góc ở \( B \) và \( C \).

4. **Sử dụng định lý Sin**: Trong tam giác, theo định lý Sin, tỷ lệ giữa các cạnh đối diện với các góc tương ứng là bằng nhau.
- Góc \( NDM \) và góc \( NEM \) đều được xác định bởi các đường cao, nên góc này là như nhau.
- Tâm điểm tại \( N \) và đoạn nối \( DM \) và \( EM \) cũng tương tự.

5. **Kết luận**: Từ những điều trên, chúng ta có:
- Các cạnh \( ND = NE \),
- Cạnh \( DM = EM \) vì \( M \) là trung điểm của \( BC \).
- Từ đó suy ra được \( NDM = NEM \).

### Hình vẽ

Bạn có thể vẽ hình sau:

1. Vẽ tam giác \( ABC \) nhọn.
2. Vẽ đường cao \( BD \) và \( CE \) cắt nhau tại \( H \).
3. Đánh dấu trung điểm \( M \) của \( BC \) và \( N \) của \( AH \).
4. Vẽ các đoạn thẳng \( ND, NE, DM, EM \) tương ứng.

Hình sẽ bao gồm các điểm \( B, C, D, E \) với các đoạn đường của đường cao và trung điểm, tạo thành hai tam giác \( NDM \) và \( NEM \) để có thể dễ dàng nhận biết mối quan hệ giữa chúng.

Chúc bạn làm bài tốt!