Để rút gọn biểu thức \( B \) and thực hiện các phần sau, chúng ta sẽ lần lượt giải quyết từng phần.

### Phần a: Rút gọn biểu thức \( B \)

Biểu thức ban đầu là:

\[
B = \left( \frac{x}{x^2 - 4} + \frac{2}{2 - x} + \frac{1}{x + 2} \right) \left( x - 2 + \frac{10 - x^2}{x + 2} \right)
\]

**Bước 1: Rút gọn phần tử đầu tiên**

Xét phần tử đầu tiên:

\[
\frac{x}{x^2 - 4} + \frac{2}{2 - x} + \frac{1}{x + 2}
\]

Ta có thể viết lại:

- \( x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2) \)
- \( 2 - x = -(x - 2) \)

Vậy ta biến đổi:

\[
\frac{x}{(x - 2)(x + 2)} - \frac{2}{x - 2} + \frac{1}{x + 2}
\]

Chúng ta sẽ đưa về cùng mẫu số. Mẫu số chung là \( (x - 2)(x + 2) \):

\[
\frac{x - 2 \cdot 2 + 1 \cdot (x - 2)}{(x - 2)(x + 2)} = \frac{x - 4 + x - 2}{(x - 2)(x + 2)} = \frac{2x - 6}{(x - 2)(x + 2)} = \frac{2(x - 3)}{(x - 2)(x + 2)}
\]

Vậy phần tử đầu tiên rút gọn thành:

\[
\frac{2(x - 3)}{(x - 2)(x + 2)}
\]

**Bước 2: Rút gọn phần tử thứ hai**

Xét phần tử thứ hai:

\[
x - 2 + \frac{10 - x^2}{x + 2}
\]

Ta cũng muốn đưa về cùng mẫu số. Mẫu số chung ở đây là \( x + 2 \):

\[
\frac{(x - 2)(x + 2) + (10 - x^2)}{x + 2} = \frac{x^2 - 4 + 10 - x^2}{x + 2} = \frac{6}{x + 2}
\]

**Kết hợp lại:**

Khi kết hợp cả hai phần tử lại, ta được:

\[
B = \left( \frac{2(x - 3)}{(x - 2)(x + 2)} \right) \left( \frac{6}{x + 2} \right) = \frac{12(x - 3)}{(x - 2)(x + 2)^2}
\]

### Phần b: Tính giá trị của \( B \) khi \( |x| = \frac{1}{2} \)

Với \( x = \frac{1}{2} \):
\[
B = \frac{12\left(\frac{1}{2} - 3\right)}{\left(\frac{1}{2} - 2\right)\left(\frac{1}{2} + 2\right)^2} = \frac{12\left(-\frac{5}{2}\right)}{\left(-\frac{3}{2}\right)\left(\frac{5}{2}\right)^2}
\]
\[
= \frac{12 \cdot -\frac{5}{2}}{-\frac{3}{2} \cdot \frac{25}{4}} = \frac{-30}{-\frac{75}{8}} = \frac{-30 \cdot 8}{-75} = \frac{240}{75} = \frac{16}{5}
\]

### Phần c: Tìm giá trị của \( x \) để \( B < 0 \)

Để \( B < 0 \), chúng ta phải xem xét dấu của tử số và mẫu số:

- Tử số: \( 12(x - 3) < 0 \) nên \( x < 3 \)
- Mẫu số: \( (x - 2)(x + 2)^2 > 0 \)

Phân tích mẫu số:
- \( (x - 2) > 0 \) khi \( x > 2 \)
- \( (x + 2)^2 > 0 \) với mọi \( x \)

Từ việc phân tích mô hình, chỉ trường hợp \( x < 3 \) và \( x > 2 \) thì \( B < 0 \). Vậy:

\[
2 < x < 3
\]

### Phần d: Tìm các giá trị nguyên của \( x \) để \( B \) có giá trị nguyên

Từ khoảng \( 2 < x < 3 \), giá trị nguyên duy nhất trong khoảng này là \( x = 3 \).

Do đó, để thu được giá trị nguyên, giá trị duy nhất là:

\[
x = 3
\]

### Tổng kết
- **Phần a:** \( B = \frac{12(x - 3)}{(x - 2)(x + 2)^2} \)
- **Phần b:** \( B = \frac{16}{5} \) khi \( |x| = \frac{1}{2} \)
- **Phần c:** \( 2 < x < 3 \)
- **Phần d:** \( x = 3 \) là giá trị nguyên duy nhất để \( B \) là số nguyên.