Để giải bài toán về tam giác ABC với đường cao AH và phân giác BD, chúng ta có thể sử dụng các tính chất hình học.

Đầu tiên, từ yêu cầu bài toán, chúng ta biết rằng góc \( AHD = 45^\circ \). Ta cũng biết rằng \( AH \) là đường cao từ đỉnh A xuống cạnh BC, và \( BD \) là phân giác của góc \( ABC \).

Chúng ta cần tìm số đo của góc \( ADB \).

1. **Xem xét góc AHD**:
Bởi vì \( AH \) là đường cao, chúng ta có \( AH \perp BC \). Do đó, góc \( AHB = 90^\circ \) và góc \( AHC = 90^\circ \).

2. **Sử dụng tam giác AHB**:
Trong tam giác \( AHB \), chúng ta có:
\[
\angle AHD + \angle AHB = 90^\circ \implies \angle AHB = 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ
\]

3. **Sử dụng tính chất của phân giác**:
Phân giác \( BD \) chia góc \( ABC \) thành hai phần bố và mẹ có số đo bằng nhau. Gọi số đo góc \( ABD = x \). Khi đó, góc \( ABC = 2x \).

4. **Sử dụng số đo tam giác**:
Trong tam giác \( AHB \), ta có:
\[
x + 45^\circ + 90^\circ - x = 180^\circ \implies 135^\circ = 180^\circ \implies x + 45^\circ = 135^\circ
\]
Vậy:
\[
x = 135^\circ - 45^\circ = 90^\circ
\]

5. **Tính góc ADB**:
Trong tam giác \( ADB \):
\[
\angle ADB = 90^\circ - \angle ABD
\]
Từ đó, ta tính được:
\[
\angle ADB = 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ
\]

Do đó, số đo góc \( ADB \) là \( 45^\circ \).