Để tìm giá trị của \( x \) trong phương trình \( \frac{1}{4} + 2 \cdot (3x - \frac{2}{3}) = 1 \), ta thực hiện các bước sau:

**Bước 1: Giải phương trình**

Bắt đầu với phương trình:
\[
\frac{1}{4} + 2 \cdot (3x - \frac{2}{3}) = 1
\]

Thực hiện nhân \( 2 \) với biểu thức trong ngoặc:
\[
\frac{1}{4} + 6x - \frac{4}{3} = 1
\]

Chuyển đổi \(\frac{1}{4}\) và \(-\frac{4}{3}\) về cùng mẫu:
- Mẫu chung của \( 4 \) và \( 3 \) là \( 12 \).

Chuyển đổi \(\frac{1}{4}\) về mẫu 12:
\[
\frac{1}{4} = \frac{3}{12}
\]
Chuyển đổi \(-\frac{4}{3}\) về mẫu 12:
\[
-\frac{4}{3} = -\frac{16}{12}
\]

Thay vào phương trình:
\[
\frac{3}{12} + 6x - \frac{16}{12} = 1
\]

Kết hợp các hạng tử:
\[
6x - \frac{13}{12} = 1
\]

**Bước 2: Chuyển 1 sang mẫu 12:**
\[
1 = \frac{12}{12}
\]

Nên ta có:
\[
6x - \frac{13}{12} = \frac{12}{12}
\]

**Bước 3: Giải phương trình cho \( x \)**

Thêm \(\frac{13}{12}\) vào cả hai vế:
\[
6x = \frac{12}{12} + \frac{13}{12}
\]
\[
6x = \frac{25}{12}
\]

Chia cả hai phía cho \( 6 \):
\[
x = \frac{25}{12} \div 6 = \frac{25}{12} \cdot \frac{1}{6} = \frac{25}{72}
\]

**Kết quả:**
\[
x = \frac{25}{72}
\]

***

Đối với phần thứ hai của yêu cầu của bạn, phương trình \( (1/2 + 2x)(2x - 3) = 0 \):

**Bước 1: Giải phương trình**

Phương trình này sẽ bằng \( 0 \) khi một trong hai thừa số bằng \( 0 \):

1. \( \frac{1}{2} + 2x = 0 \)
2. \( 2x - 3 = 0 \)

**Giải phương trình thứ nhất**:
\[
\frac{1}{2} + 2x = 0 \implies 2x = -\frac{1}{2} \implies x = -\frac{1}{4}
\]

**Giải phương trình thứ hai**:
\[
2x - 3 = 0 \implies 2x = 3 \implies x = \frac{3}{2}
\]

**Kết quả cho phần thứ hai**:
\[
x = -\frac{1}{4} \quad \text{hoặc} \quad x = \frac{3}{2}
\]

***Tóm lại***:
- Đầu tiên: \( x = \frac{25}{72} \)
- Thứ hai: \( x = -\frac{1}{4} \) hoặc \( x = \frac{3}{2} \)