Để giải bài toán này, chúng ta sẽ đi từng phần một.

### Phần a: Chứng minh ΔABM = ΔACM

Ta có:
- Tam giác ABC cân tại A, tức là AB = AC.
- M là trung điểm của đoạn thẳng BC, do đó BM = MC.

Áp dụng tiêu chí đồng dạng của tam giác:
- ΔABM có: AB = AC, BM = MC.
- Gốc A chung.

Vậy nên:
\[ \Delta ABM \cong \Delta ACM \quad (S_{AS_{1}S_{2}}) \]

### Phần b: Chứng minh AM là đường trung trực của đoạn thẳng BC

Để chứng minh AM là đường trung trực của BC, ta cần chứng minh rằng:
- Các điểm B và C cách đều điểm M trên đường thẳng AM.

Từ a) ta đã chứng minh ΔABM = ΔACM, tức là:
- AB = AC và BM = MC.

Do đó, AM cắt đoạn BC tại M, mà M là trung điểm của BC. Điều này chứng tỏ AM là đường trung trực của đoạn thẳng BC.

### Phần c: Lấy N trên đường thẳng AM sao cho M nằm giữa A và N. Chứng minh ΔNBC cân tại N

Ta có:
- Xét tam giác MBN và MCN.
- Vì AM là trung trực của BC, nên:
\[ MB = MC \]

Với N nằm trên AM, ta sẽ có:
\[ NB = NM + MB \]
\[ NC = NM + MC \]

Vì MB = MC, kết hợp với việc N nằm trên AM giúp cho ΔNBC cân tại N.

### Phần d: Chứng minh ΔABN = ΔACN và NA là tia phân giác của góc BNC

Để chứng minh ΔABN = ΔACN, ta sẽ sử dụng lại các yếu tố đã biết:
- Từ phần c, ta đã biết NB = NC.

Tới đây, ta có:
- AB = AC (do tam giác ABC cân tại A).
- AN là cạnh chung.

Áp dụng tiêu chí đồng dạng:
\[ \Delta ABN \cong \Delta ACN \]

Vậy, bằng các yếu tố trên, ta cũng có NA là tia phân giác của góc BNC.

### Kết luận

Như vậy, ta đã chứng minh xong yêu cầu của bài toán.