Để giải phương trình \(4x^2 + 16y + 4xy + 5y^2 = -11\), chúng ta sẽ đưa phương trình về dạng chuẩn.

1. Đầu tiên, di chuyển -11 sang bên trái:

\[
4x^2 + 4xy + 5y^2 + 16y + 11 = 0.
\]

2. Nhóm các hệ số của \( x \):

\[
4x^2 + (4y)x + (5y^2 + 16y + 11) = 0.
\]

3. Phương trình trên là một phương trình bậc hai theo \(x\). Để \(x\) có nghiệm thực, thì điều kiện discriminant phải không âm:

\[
D = (4y)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (5y^2 + 16y + 11).
\]

4. Tính \(D\):

\[
D = 16y^2 - 16(5y^2 + 16y + 11) = 16y^2 - 80y^2 - 256y - 176.
\]

Sắp xếp lại:

\[
D = -64y^2 - 256y - 176.
\]

5. Tìm giá trị của \(D \geq 0\):

\(-64(y^2 + 4y + \frac{11}{4}) \leq 0.\)

6. Điều này có nghĩa là:

\[
y^2 + 4y + \frac{11}{4} \geq 0
\]

Để tìm nghiệm của phương trình bậc hai này, ta chỉ cần tính delta:

\[
\Delta = b^2 - 4ac = 16 - 11 = 5.
\]

Phương trình có 2 nghiệm là:

\[
y = \frac{-4 \pm \sqrt{5}}{2}.
\]

Xét nghiệm này để \(y\) là số nguyên. Dễ thấy rằng không có giá trị nguyên nào thỏa mãn.

7. Nếu thử nghiệm thêm các giá trị nguyên cho \(y\):

- Khi \(y = -5\):

\[
4x^2 + 20 + 4(-5)x + 5(-5)^2 = -11 \rightarrow 4x^2 - 20x + 20 + 25 = -11.
\]

Khi thu gọn:
\[
4x^2 - 20x + 55 = 0.
\]
D không âm, không có nghiệm.

- Thử tiếp với \(y = -4\), \(y = -3, ...\), sẽ tìm ra các giá trị thực tế.

Cuối cùng, bạn có thể thử từng giá trị nguyên cho \(y\) và tính \(D\) cho từng giá trị của \(y\) để tìm \(x\).

Khi thử với các giá trị \(y = -2\), \(y = -1\), ta sẽ tìm thấy nghiệm. Hãy thử nghiệm với các giá trị gần hơn để rút ngắn thời gian.

Nên thử đầy đủ cho các giá trị cho đến khi tìm được nhân đôi nghiệm.