Để giải bài toán, ta sẽ đi từng phần theo yêu cầu:

**a)** Chứng minh \( \triangle DOR \cong \triangle EOC \):

- Ta có:
- \( OD = OE \) (vì O là trung điểm của đoạn thẳng AC).
- \( \angle AOD = \angle AOE \) (đều là góc ở đỉnh A).
- \( AD = CE \) (giả thiết cho trước).

- Do đó, theo tiêu chuẩn hai cạnh và góc kẹp, ta có \( \triangle DOR \cong \triangle EOC \).

**b)** Chứng minh \( AO \) là đường trung trực của DE:

- Vì \( D \) và \( E \) lần lượt thuộc \( AB \) và \( AC \) với độ dài \( BD = CE \), kết hợp với sự đồng dạng đã chứng minh ở phần a), ta có:
- \( AD = CE \)
- \( \angle AOD = \angle AOE \), chứng tỏ AO luôn là đường trung trực của đoạn DE.

**c)** Chứng minh DE // BC:

- Từ hai tam giác \( DOR \) và \( EOC \) là đồng dạng (do đã chứng minh ở phần a), ta có \( \angle DOR = \angle EOC \) và \( AO \) cắt \( DE \) tại một điểm M, suy ra \( DE \) // \( BC \) (bởi vì các góc đồng vị sẽ bằng nhau).

Vậy là chúng ta có thể hoàn thành bài toán qua ba yêu cầu.