Để chứng minh các yêu cầu trong bài toán, chúng ta sẽ tiến hành từng phần một.

### Phần a:

1. **Chứng minh tam giác HBA đồng dạng tam giác ABC:**
- Trong tam giác vuông ABC, có *A* là góc vuông, nên \(\angle BAC = 90^\circ\).
- Đường cao AH từ A tới cạnh BC chia tam giác ABC thành hai tam giác vuông: AHB và AHC.
- Coi các góc:
- \(\angle HBA = \angle ABC\) (một cặp góc tương ứng trong hai tam giác đồng dạng).
- \(\angle AHB = \angle ACB\) (cũng là cặp góc tương ứng).
- Do đó, từ hai cặp góc tương ứng bằng nhau, ta kết luận rằng:
\[
\triangle HBA \sim \triangle ABC
\]

2. **Chứng minh AB² = BH * BC:**
- Theo định lý về các tam giác đồng dạng, ta có tỉ lệ:
\[
\frac{AB}{BC} = \frac{HB}{AB} \implies AB^2 = BH \cdot BC
\]

### Phần b:

1. **Vẽ đường thẳng HE và HF như đã đề cập:**
- HE vuông góc với AB, và HF vuông góc với AC. Khi đó, AE và AF là chiều cao từ A xuống các cạnh lần lượt BE (trên đường thẳng AB) và CF (trên đường thẳng AC).

2. **Chứng minh AE * AB = AF * AC:**
- Ta có tam giác HBA và tam giác ABE vuông tại E, từ đó ta có:
\[
AE = \frac{AB \cdot AH}{HB}
\]
- Tương tự, với tam giác AHC và tam giác ACF vuông tại F, ta có:
\[
AF = \frac{AC \cdot AH}{HC}
\]
- Theo quy luật tỉ lệ trong tam giác vuông, ta có:
\[
AE \cdot AB = \left(\frac{AB \cdot AH}{HB}\right) \cdot AB
\]
\[
= \frac{AB^2 \cdot AH}{HB}
\]
- Còn với AF:
\[
AF \cdot AC = \left(\frac{AC \cdot AH}{HC}\right) \cdot AC
\]
\[
= \frac{AC^2 \cdot AH}{HC}
\]
- Thay \(\frac{AH}{HB} = \frac{AC^2}{AB^2}\) do tam giác HBA tương tự tam giác ACB.
- Kết luận từ tỉ lệ và thay thế vào phương trình, ta chứng minh được rằng:
\[
AE \cdot AB = AF \cdot AC
\]

Hy vọng hướng dẫn trên giúp bạn hiểu rõ hơn về chứng minh trong bài toán với tam giác vuông!