Để giải bài toán này, ta sẽ làm theo từng bước.

### a. Chứng minh: \(\triangle AHB \sim \triangle ABC\)

1. **Cách Chứng Minh**:
- Trong tam giác vuông \(ABC\), góc \(A\) là góc vuông (\(90^\circ\)).
- Từ \(H\) (đường cao từ \(A\) xuống \(BC\)), ta có:
- Góc \(AHB = \angle ABC\) (góc chung).
- Góc \(AHB + \angle A = 90^\circ\) vì \(AH\) vuông góc với \(BC\).
- Vậy \(\triangle AHB \sim \triangle ABC\) bởi tiêu chí góc-góc (AA).

### b. Tính \(AC\) và \(AH\)

1. **Áp dụng Định Lý Pythagore**:
- Trong tam giác vuông \(ABC\):
\[
AC^2 + AB^2 = BC^2
\]
- Thay số:
\[
AC^2 + 9^2 = 15^2 \implies AC^2 + 81 = 225
\]
\[
AC^2 = 144 \implies AC = 12 \text{ cm}
\]

2. **Tính độ dài \(AH\)**:
- Sử dụng công thức tính diện tích:
\[
S = \frac{1}{2} \times AB \times AC = \frac{1}{2} \times BC \times AH
\]
- Tính diện tích từ hai cách:
\[
S = \frac{1}{2} \times 9 \times 12 = 54 \text{ cm}^2
\]
\[
54 = \frac{1}{2} \times 15 \times AH \implies 54 = 7.5 \cdot AH \implies AH = \frac{54}{7.5} = 7.2 \text{ cm}
\]

### c. Kẻ \(AH\) vuông góc với \(AC\)

1. **Chứng minh**:
- Dựa vào đạo hàm hình học:
- Ta đã có \(\triangle AHB \sim \triangle ABC\).
- Từ tính tương ứng của tỉ lệ:
\[
\frac{BH}{AB} = \frac{AH}{AC}
\]
- Hay \(BH \cdot AC = AH \cdot AB\) cũng từ đó nhận được \(BH \cdot HC = AE \cdot AC\).

Kết quả cuối cùng:
- \(AC = 12 \text{ cm}\)
- \(AH = 7.2 \text{ cm}\)