Để chứng minh các tính chất trong tam giác vuông ABC, chúng ta thực hiện tuần tự các bước sau:

### a) Chứng minh: Tam giác AHB đồng dạng với tam giác CAB

**Xét tam giác ABC vuông tại A.** Ta có:

- Góc CAB = 90° (do tam giác vuông tại A)
- Góc AHB = 90° (do AH là đường cao từ A)
- Góc AHB = góc CAB.

#### **Chứng minh đồng dạng:**

1. **Góc CAB = Góc AHB** (đều bằng 90 độ).
2. **Góc AHB = Góc ABC** (vì AHB là góc vuông với đường cao AH).
3. Từ đó, ta có:
- Góc CAB + Góc AHB + Góc ACB = 180° (tổng ba góc trong tam giác CAB).
- Góc CAB + Góc ABC + Góc ACB = 180° (tổng ba góc trong tam giác AHB).

Vì vậy, ta có hai cặp góc tương ứng:

- Góc CAB = Góc AHB
- Góc ABC = Góc ACB

Từ đó, ta kết luận:
\[
\triangle AHB \sim \triangle CAB
\]

### b) Kẻ tia phân giác ABC cắt AC tại E, cắt AH tại D. Chứng minh: AD * AE = DH * EC

Để chứng minh điều này, ta áp dụng **Định lý phân giác**:

Từ tính chất của đoạn phân giác trong tam giác:
\[
\frac{AB}{AC} = \frac{AE}{EC}
\]

Để chứng minh tích \( AD * AE = DH * EC \), ta sẽ sử dụng tỉ lệ của hai tam giác đã chứng minh ở trên và tính chất của đường cao trong tam giác vuông.

#### **Bước chứng minh:**

1. Từ đồng dạng \( \triangle AHB \sim \triangle CAB \):
- Có tỉ lệ:
\[
\frac{AH}{AC} = \frac{AB}{AB+AC}
\]

2. Tương tự, từ tam giác AHB và EC:
- Có tỉ lệ:
\[
\frac{AD}{AH} = \frac{AB}{AB + AC} \implies AD = AH \cdot \frac{AB}{AB+AC}
\]

3. Áp dụng Định lý phân giác:
\[
\frac{AD}{AE} = \frac{AB}{AC} \implies AE = \frac{AD \cdot AC}{AB}
\]

4. Kết hợp các kết quả, ta có:
\[
AD * AE = AH * \frac{AB \cdot AC}{AB}
\]
\[
DH * EC = AH \cdot AC
\]

Vì vậy, từ định lý phân giác, ta có:
\[
AD \cdot AE = DH \cdot EC
\]

Như vậy, điều phải chứng minh đã hoàn tất.