Cho (d): y=2mx+2m-3(m là tham số) và parabol (P):y=x^2. Hỏi có bao nhiêu giá trị của m để đường thẳng (d) tiếp xúc với (P)

Để tìm số giá trị của tham số \( m \) sao cho đường thẳng \( (d): y = 2mx + 2m - 3 \) tiếp xúc với parabol \( (P): y = x^2 \), ta cần tìm điều kiện tiếp xúc giữa đường thẳng và parabol.

Đầu tiên, ta đặt các phương trình bằng nhau để tìm các giao điểm giữa đường thẳng và parabol:

\[
2mx + 2m - 3 = x^2
\]

Sắp xếp lại, ta có:

\[
x^2 - 2mx - (2m - 3) = 0
\]

Để đường thẳng tiếp xúc với parabol, phương trình bậc hai này phải có duy nhất một nghiệm. Điều đó xảy ra khi và chỉ khi biệt thức \( \Delta \) bằng 0, tức là:

\[
\Delta = b^2 - 4ac = 0
\]

Trong trường hợp của chúng ta, \( a = 1 \), \( b = -2m \), và \( c = -(2m - 3) \). Tính biệt thức:

\[
\Delta = (-2m)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-(2m - 3)) = 4m^2 + 8m - 12
\]

Ta biết rằng để đường thẳng tiếp xúc với parabol thì \( \Delta = 0 \):

\[
4m^2 + 8m - 12 = 0
\]

Chia cả phương trình cho 4, ta có:

\[
m^2 + 2m - 3 = 0
\]

Giải phương trình này bằng cách sử dụng công thức nghiệm:

\[
m = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3)}}{2 \cdot 1}
\]

Tính toán trong căn:

\[
= \frac{-2 \pm \sqrt{4 + 12}}{2} = \frac{-2 \pm \sqrt{16}}{2} = \frac{-2 \pm 4}{2}
\]

Tính hai nghiệm:

1. Khi \( -2 + 4 \):
\[
m_1 = \frac{2}{2} = 1
\]

2. Khi \( -2 - 4 \):
\[
m_2 = \frac{-6}{2} = -3
\]

Vậy có 2 giá trị của \( m \) là \( m = 1 \) và \( m = -3 \) để đường thẳng \( (d) \) tiếp xúc với parabol \( (P) \).

**Kết luận:** Có 2 giá trị của \( m \) để đường thẳng \( (d) \) tiếp xúc với parabol \( (P) \).