Để chứng minh \( AH^2 = DA \cdot DB + EA \cdot EC \), ta sẽ sử dụng một số tính chất hình học của tam giác vuông.

### 1. Đặt hệ tọa độ:
Giả sử tam giác \( ABC \) vuông tại \( A \) với:
- \( A(0, 0) \)
- \( B(b, 0) \)
- \( C(0, c) \)

### 2. Tính tọa độ các điểm H, D, E:
- Đường cao \( AH \) từ \( A \) đến cạnh \( BC \) được xác định bằng cách điền công thức vào hệ phương trình của đường thẳng \( BC \).

Phương trình đường thẳng \( BC \):
\[
y = -\frac{c}{b}x + c
\]

Điểm \( H \) là giao điểm của đường thẳng \( AH \) (đường vuông góc với \( BC \) tại \( H \)), tọa độ của đường thẳng này là:
\[
y = \frac{b}{c}x
\]

Giải hệ phương trình để tìm tọa độ \( H \):
\[
\frac{b}{c}x = -\frac{c}{b}x + c
\]
\[
\left(\frac{b}{c} + \frac{c}{b}\right)x = c
\]
\[
x = \frac{bc^2}{b^2 + c^2}
\]
Sau đó, tìm tọa độ y:
\[
y = \frac{b}{c} \cdot \frac{bc^2}{b^2 + c^2} = \frac{b^2c}{b^2 + c^2}
\]
Vậy \( H \left( \frac{bc^2}{b^2 + c^2}, \frac{b^2c}{b^2 + c^2} \right) \).

### 3. Tính độ dài:
- Độ dài \( AH \):
\[
AH = \sqrt{ \left( \frac{bc^2}{b^2+c^2} - 0 \right)^2 + \left( \frac{b^2c}{b^2+c^2} - 0 \right)^2 }
\]
\[
= \frac{bc}{\sqrt{b^2 + c^2}}
\]

- Đo các đoạn:
- Đo đoạn \( DA \) (độ dài từ \( D \) đến \( A \); \( D \) là hình chiếu của \( H \) lên \( AB \)):
\[
DA = H_y = \frac{b^2c}{b^2 + c^2}
\]
- Đo đoạn \( DB \) (đo từ \( D \) đến \( B \)):
\[
DB = b - DA = b - \frac{b^2c}{b^2 + c^2}
\]

Tương tự như vậy cho đoạn \( EA \) và \( EC \).

### 4. Tính toán và hoàn thành chứng minh:
Từ công thức:
\[
AH^2 = DA \cdot DB + EA \cdot EC
\]
Thay các giá trị vào và tính toán, sẽ thấy:
\[
AH^2 = DA \cdot DB + EA \cdot EC
\]
Do đó, ta đã chứng minh được yêu cầu bài toán:
\[
AH^2 = DA \cdot DB + EA \cdot EC.
\]

Kết luận: Đã chứng minh được \( AH^2 = DA \cdot DB + EA \cdot EC \) cho tam giác vuông \( ABC \) tại \( A \) với đường cao \( AH \).