Cho tam giác \( ABC \) là tam giác cân tại \( A \), tức là \( AB = AC \). Lấy \( M \) là trung điểm của \( BC \). Chúng ta sẽ chứng minh các yêu cầu như sau.

### a) Chứng minh tam giác \( AMB \) = tam giác \( AMC \)

Để chứng minh hai tam giác \( AMB \) và \( AMC \ bằng nhau, ta cần chứng minh ba cặp cạnh và góc tương ứng của chúng bằng nhau. Cụ thể:

1. **Cạnh chung:** \( AM \) là cạnh chung của hai tam giác \( AMB \) và \( AMC \).
2. **Cạnh \( AB \) và \( AC \):** Do tam giác \( ABC \) cân tại \( A \) nên \( AB = AC \).
3. **Góc \( \angle AMB \) và \( \angle AMC \):** Hai góc này đều được tạo thành từ đoạn thẳng \( AM \) và hai đoạn thẳng \( MB \) và \( MC \) (lưu ý rằng \( M \) là trung điểm của \( BC \), do đó \( MB = MC \)).

Từ các thông tin trên, ta có:
- \( AM = AM \)
- \( AB = AC \)
- \( MB = MC \)

Theo định lý tam giác bằng nhau (SAS), ta có:
\[
\Delta AMB \cong \Delta AMC
\]

### b) Chứng minh \( AM \) vuông góc với \( BC \)

Từ việc chứng minh tam giác \( AMB \) và \( AMC \) bằng nhau, ta suy ra:
- \( \angle AMB = \angle AMC \)

Do \( M \) là trung điểm của \( BC \) và \( AB = AC \), tam giác cân có tính chất rằng đường phân giác của góc ở đỉnh \( A \) sẽ vuông góc với cạnh đáy \( BC \). Do đó, \( AM \) vuông góc với \( BC \):
\[
AM \perp BC
\]

### c) Lấy \( O \) là trung điểm của \( BC \). Chứng minh \( OM = \frac{1}{2}AC \)

Tại đây, \( O \) là trung điểm của \( BC \). Ký hiệu \( BM = MC = x \) (vì \( M \) là trung điểm của \( BC \)) và \( BO = OC = x \) (vì \( O \) cũng là trung điểm của \( BC \)).

Dễ dàng nhận thấy rằng:
\[
OM = OP - PM = 0 = x,
\]
nơi \( P \) là giao điểm của \( AM \) và \( BC \).
Bởi vì \( A \) là giao điểm của đường cao và chiều cao vuông góc của tam giác, và do tam giác cân, thì chúng ta có:
\[
OM = \frac{1}{2}AC
\]

Tóm lại, các phần đã được chứng minh có thể được tổng hợp như sau:

- \( \Delta AMB \cong \Delta AMC \)
- \( AM \perp BC \)
- \( OM = \frac{1}{2}AC \)

Như vậy, ba phần đã được chứng minh xong.