Để giải bài toán trên, chúng ta sẽ đi từng phần một.

**a) Chứng minh tam giác AKH là tam giác cân:**

- Tam giác ABC là tam giác cân tại A, nghĩa là AC = AB.
- B có đường cao BH từ B tới AC và CK từ C tới AB.
- Vì BH ⊥ AC và CK ⊥ AB, nên H là hình chiếu của B xuống AC và K là hình chiếu của C xuống AB.

Chúng ta cần chứng minh rằng AK = AH.

- Xét tam giác ABK và AHC:
- AC = AB (vì tam giác ABC là tam giác cân).
- Góc AHK = góc ABK (cùng bằng một góc ở đỉnh A).
- Góc AHB = góc ACB (cùng bằng một góc ở đỉnh C).

Do đó, từ tam giác đồng dạng (AA), chúng ta có AH = AK.

Vậy tam giác AKH là tam giác cân.

---

**b) Gọi I là giao của BH và CK; AI cắt BC tại M. Chứng minh rằng IM là phân giác của BIC:**

- Xét tam giác BIC, IM sẽ là phân giác nếu tỉ số của hai đoạn BI và CI bằng tỉ số của hai cạnh BC và AC.

- Có:

\[ \frac{BI}{CI} = \frac{BH}{CK} \]

- Từ phần a, chúng ta đã chứng minh rằng BH và CK là vuông góc với AC và AB. Vì AB = AC (do tam giác ABC là cân), nên tỉ số độ dài của BH và CK cũng bằng tỉ lệ với độ dài các cạnh tương ứng AC và AB.

Do đó, IM là phân giác của góc BIC.

---

**c) Chứng minh HK // BC:**

- Ta cần chứng minh rằng HK // BC.

- Gọi I là giao điểm của BH và CK. Do BH // AC và CK // AB (vì đều là đường cao), nên ta có các góc tương ứng:
- Góc HKC bằng góc CBA (góc này bằng với góc A do tam giác cân tại A).
- Góc HKB bằng góc ACB.

- Vì tam giác AKH là tam giác cân (như đã chứng minh ở phần a), ta có:

\[ HK = AH \text{ và } AK = AH \]

Từ đó, ta nhận thấy rằng HK // BC do cùng có các góc tương ứng và áp dụng tính chất của các đường thẳng song song.

Vậy HK // BC.

---

Chúng ta đã hoàn thành các câu hỏi của bài toán! Nếu có phần nào không rõ ràng hoặc cần làm rõ thêm, bạn hãy cho tôi biết!