Chúng ta sẽ giải bài toán theo từng phần đã cho.

**a/** Chứng minh tam giác ADH = AEH và CH > HD.

Xét tam giác ABC vuông tại A với AB < AC, trong đó D là hình chiếu của A trên BC. Ta có AD vuông góc với BC tại D. Đặt H là giao điểm giữa tia phân giác của góc DAC và cạnh BC.

Do AD là đường cao trong tam giác ABC, và H nằm trên tia phân giác của góc DAC, theo tính chất của phân giác góc, ta có:

\[
\frac{AH}{HD} = \frac{AC}{AB}
\]

Tam giác ADH và AEH có chung cạnh AH và có các góc tương ứng:
- \(\angle ADH\) và \(\angle AEH\) đều bằng 90 độ (do AD vuông góc với BC và HE vuông góc với AC).
- Do đó, tam giác ADH = AEH theo trường hợp góc-góc-cạnh (GGC).

Để chứng minh CH > HD, ta có thể sử dụng định lý về đường phân giác. Từ tính trong tam giác vuông ABC, vì AB < AC, góc DAC > 45 độ. Do đó, theo định lý về đường phân giác, ta có:

\[
CH > HD
\]

**b/** Gọi K là giao điểm giữa AD với EH, chứng minh HCK và ABH là những tam giác cân.

- Đầu tiên, để chứng minh HCK là tam giác cân: Ta có AE là chiều cao từ A xuống cạnh BC, và do HA = HE (bởi AE vuông góc với AC), nên góc HAE = góc HEC. Do đó, tam giác HCK có hai cạnh HA = HE, dẫn đến HCK là tam giác cân.

- Tương tự, để chứng minh ABH là tam giác cân, ta có góc AHB = góc AHB (góc chung) và AH = AB (do AD vuông góc với BC), cho nên ABH cũng là tam giác cân.

**c/** Gọi HM là đường cao của tam giác CHK, chứng minh A, H, M thẳng hàng.

Để chứng minh A, H, M thẳng hàng, chúng ta sẽ chỉ ra rằng các góc AHM và HMC bổ sung cho nhau. Trong tam giác CHK, HM là đường cao nên góc HMC = 90 độ và CH = CK (do HCK là tam giác cân, đã chứng minh ở phần b).

Xét góc AHK:
\[
\angle AHK = \angle AHD + \angle DHC
\]
Vì AD là đường vuông góc với BC, có nghĩa là H nằm trên đường vuông góc tương ứng, do đó H, A, M nằm trên cùng một đường thẳng.

Từ đó, ta có thể kết luận rằng A, H, M thẳng hàng.

Tóm lại, chúng ta đã chứng minh theo từng phần của bài toán và các tính chất liên quan.